Para quais valores de k, se houver, são u e v ortogonais?
u=(-2, k, k), v=(k, 5, k)

Passo 1

O enunciado nos dá dois vetores em R^3 dependentes de k:
u=(-2, k, k) e v=(k, 5, k).
O conteúdo aqui é produto escalar e ortogonalidade de vetores. Para que u e v sejam ortogonais, seu produto escalar deve ser zero.

Passo 2

Aplicamos a definição de produto escalar em R^3:
ucdotv=u1v1+u2v2+u3v3
Substituindo os componentes,
ucdotv=(-2)cdot k + kcdot 5 + kcdot k
e simplificando,
ucdotv=k^2 + 3k

Passo 3

Para vetores ortogonais vale ucdotv=0. Logo, resolvemos
k^2 + 3k = 0
Fatorando,
k,(k+3)=0
de onde
k=0ou k=-3

Resposta

k=0 ou k=-3

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