Use vetores para encontrar os cossenos dos ângulos interiores do triângulo de vértices A(0,-1), B(1,-2) e C(4,1). Esboce o triângulo no plano xy.

Passo 1

A questão pede os cossenos dos ângulos interiores do triângulo de vértices A(0,-1), B(1,-2) e C(4,1). Vamos usar a fórmula do produto escalar em vetores
costheta = vec ucdot vec v|vec u|;|vec v|,
onde vec u e vec v são os dois lados que formam o ângulo theta.

Passo 2

Ângulo em A: os vetores saindo de A são
AB = B - A = (1-0,,-2 -(-1)) = (1,-1),
AC = C - A = (4-0,;1 -(-1)) = (4,2)
Seus módulos são
|AB| = raiz1^2+(-1)^2=raiz2 e
|AC| = raiz4^2+2^2=raiz20.
O produto escalar é
ABcdotAC = 1cdot4 +(-1)cdot2 = 2.
Logo
cosang<= A = 2raiz2,raiz20 = 22raiz10 = 1raiz10

Passo 3

Ângulo em B: agora os vetores em B são
BA = A - B = (0-1,,-1 -(-2)) = (-1,1),
BC = C - B = (4-1,;1 -(-2)) = (3,3)
Módulos: |BA|=raiz2, |BC|=raiz9+9=3raiz2.
Produto escalar: BAcdotBC = -1cdot3 +1cdot3 = 0.
Assim
cosang<= B = 0

Passo 4

Ângulo em C: os vetores em C são
CA = A - C = (0-4,,-1 -1) = (-4,-2),
CB = B - C = (1-4,,-2 -1) = (-3,-3)
Módulos: |CA|=raiz16+4=2raiz5, |CB|=raiz9+9=3raiz2.
Produto escalar: CAcdotCB = (-4)(-3)+(-2)(-3)=18.
Logo
cosang<= C = 182raiz5;3raiz2 = 186raiz10 = 3raiz10

Passo 5

Esboço aproximado do triângulo no plano :

Resposta

cosang<= A = 1raiz10, cosang<= B = 0, cosang<= C = 3raiz10

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