Para que valores de a o limite de todas as soluções do sistema
l x1^prime=2 x1+a y x2^prime=3 x1-4 x2
é (0,0) quando t infty ?

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
x1^prime=2x1+a,y, x2^prime=3x1-4x2,
querendo que l(x1(t),x2(t)r)to(0,0) quando ttoinfty. Isso equivale a exigir que todas as soluções do sistema x'=A,x sejam assintoticamente estáveis, ou seja, que as partes reais dos autovalores da matriz de coeficientes sejam negativas.

Passo 2

A matriz de coeficientes é
A= 2 & a 3 & -4
Para sistemas 2times2, a condição necessária e suficiente de estabilidade assintótica é
tr(A)<0 e det(A)>0

Passo 3

Calculamos o traço e o determinante de A:
tr(A)=2+(-4)=-2,
logo tr(A)<0 para todo a.
det(A)=2cdot(-4)-3a=-8-3a
Para ter det(A)>0 precisamos de
-8-3a>0 Longrightarrow a<-tfrac83

Passo 4

Concluímos que ambos os autovalores de A têm parte real negativa se, e somente se,
a<-tfrac83

Resposta

a<-tfrac83.

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