Para que valores de o limite de todas as soluções do sistema
é quando ?
Passo 1
O enunciado dá o sistema linear
querendo que quando . Isso equivale a exigir que todas as soluções do sistema sejam assintoticamente estáveis, ou seja, que as partes reais dos autovalores da matriz de coeficientes sejam negativas.
Passo 2
A matriz de coeficientes é
Para sistemas 2times2, a condição necessária e suficiente de estabilidade assintótica é
tr(A)<0 e det(A)>0
Passo 3
Calculamos o traço e o determinante de A:
tr(A)=2+(-4)=-2,
logo tr(A)<0 para todo a.
det(A)=2cdot(-4)-3a=-8-3a
Para ter det(A)>0 precisamos de
-8-3a>0 Longrightarrow a<-tfrac83
Passo 4
Concluímos que ambos os autovalores de A têm parte real negativa se, e somente se,