Verifique se os vetores V_{1}=(1,2,5), V_{2}=(7,-1,5) e V_{3}=(1,-1,-1) vetores de \mathbb{R}^{3} são LI ou LD.

Passo 1

O enunciado nos dá três vetores em \mathbb{R}^3:
\;V_{1}=(1,2,5),
\;V_{2}=(7,-1,5) e
\;V_{3}=(1,-1,-1),
e pede para verificar se eles são linearmente independentes (LI) ou linearmente dependentes (LD).
O critério que vamos usar é que, em \mathbb{R}^3, três vetores são LI se e somente se o determinante da matriz 3\times3 cujas colunas são esses vetores for diferente de zero.

Passo 2

Formamos a matriz A colocando V_{1},V_{2},V_{3} como colunas:
A = \begin{pmatrix} 1 & 7 & 1 \\[4pt] 2 & -1 & -1 \\[4pt] 5 & 5 & -1 \end{pmatrix}
Se \det(A) \neq 0, então V_{1},V_{2},V_{3} são LI; caso contrário, são LD.]

Passo 3

Vamos calcular \det(A) por desenvolvimento na primeira linha:
\det(A) =1\cdot\begin{vmatrix}-1 & -1 \\[3pt]5 & -1\end{vmatrix} -7\cdot\begin{vmatrix}2 & -1 \\[3pt]5 & -1\end{vmatrix} +1\cdot\begin{vmatrix}2 & -1 \\[3pt]5 & 5\end{vmatrix}.
Agora os menores:
\begin{vmatrix}-1 & -1 \\[3pt]5 & -1\end{vmatrix} =(-1)(-1)-(-1)\cdot 5 =1+5=6,
\begin{vmatrix}2 & -1 \\[3pt]5 & -1\end{vmatrix} =2\cdot(-1)-(-1)\cdot5 =-2+5=3,
\begin{vmatrix}2 & -1 \\[3pt]5 & 5\end{vmatrix} =2\cdot5-(-1)\cdot5 =10+5=15.
Substituindo:
\det(A)=1\cdot6-7\cdot3+1\cdot15 =6-21+15=0.]

Passo 4

Encontramos \det(A)=0. Como o determinante é zero, isso quer dizer que existe combinação linear não trivial
\alpha V_{1}+\beta V_{2}+\gamma V_{3}=0. Logo, os vetores são linearmente dependentes.

Resposta

Os vetores V_{1},V_{2} e V_{3} são linearmente dependentes.

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