Determine os valores de a e b que tornam o sistema \left\{\begin{array}{l}6 x+a y=12 \\\\ 4 x+4 y=b\end{array}\right. indeterminado.
Passo 1
O enunciado dá o sistema linear
\begin{cases} 6x + a y = 12\\[4pt] 4x + 4y = b \end{cases}
e pede: determinar os valores de a e b que tornam o sistema indeterminado.
Informações relevantes:
São duas equações lineares em duas incógnitas x e y.
Os coeficientes das incógnitas e os termos independentes dependem de a e b.
A pergunta é: para quais a e b o sistema tem infinitas soluções (isto é, é indeterminado)?]
Passo 2
O que significa o sistema ser indeterminado (ter infinitas soluções)?
Para um sistema de duas equações lineares, isso ocorre quando as duas equações são proporcionais entre si: uma é múltiplo escalar da outra. Nesse caso as retas representadas pelas equações coincidem e há infinitos pontos em comum.
Em termos algébricos, isso equivale a que a matriz dos coeficientes tenha determinante zero (as equações não são linearmente independentes) e que a mesma proporcionalidade valha também para os termos independentes (consistência). Ou seja, as razões entre os coeficientes das duas equações devem ser iguais, incluindo a razão entre os termos do lado direito.
Mais formalmente: existe um escalar k tal que
(6,a,12)=k\,(4,4,b),
ou seja
6=k\cdot4,\qquad a=k\cdot4,\qquad 12=k\cdot b.
Passo 3
Usar a primeira igualdade para encontrar k.
6 = k\cdot 4 \quad\Rightarrow\quad k = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}.
Passo 4
Usar k=\dfrac{3}{2} na segunda igualdade para achar a.
a = k\cdot 4 = \frac{3}{2}\cdot 4 = 3\cdot 2 = 6.
Passo 5
Usar k=\dfrac{3}{2} na terceira igualdade para achar b.
12 = k\cdot b = \frac{3}{2}\,b \quad\Rightarrow\quad b = \frac{12}{3/2} = 12\cdot\frac{2}{3} = 8.
Passo 6
Verificação rápida da proporcionalidade: com a=6 e b=8,
as duas equações são
6x+6y=12
e
4x+4y=8.
De fato, a primeira é \dfrac{3}{2} vezes a segunda: