Para que valores de a a matriz [ll1 & 1 0 & a] é diagonalizável ?

Passo 1

O enunciado pede para determinar para quais valores de a a matriz
A = 1 & 1 [6pt] 0 & a
é diagonalizável. O conteúdo aqui é diagonalização de matrizes 2times2: vamos calcular autovalores e verificar a dimensão dos respectivos autespaços.
]

Passo 2

Começamos pelo polinômio característico de A:
chi(lambda) = det(A - lambda I) = det!1-lambda & 1 [3pt] 0 & a-lambda = (1-lambda)(a-lambda)
Logo os autovalores são
lambda1 = 1, lambda2 = a
]

Passo 3

Se a neq 1, os autovalores lambda1=1 e lambda2=a são distintos. Em dimensão 2, autovalores distintos garantem dois autovetores linearmente independentes, portanto a matriz é diagonalizável.

Passo 4

Se , o polinômio característico fica , ou seja, autovalor único de multiplicidade algébrica . Calculando o autespaço:
logo os vetores próprios têm a forma , gerando um espaço de dimensão . Como a dimensão do autespaço é menor que , não é diagonalizável quando .

Resposta

A matriz é diagonalizável se, e somente se,
a neq 1

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