Seja T: R^2 R^2 o operador linear definido por T(x, y)=(4 x+5 y, 2 x+y). Encontre uma base de R^2 em relação à qual a matriz de T é diagonal.

Passo 1

O enunciado define o operador linear Tcolon R^2to R^2 dado por
T(x,y)=(4x+5y,;2x+y). Queremos encontrar uma base de R^2 em que a matriz de T seja diagonal, ou seja, uma base formada por autovetores de T.

Passo 2

Na base canônica (1,0),(0,1), a matriz de T é
A = 4 & 5[6pt]2 & 1
Para diagonalizar procurrimos o polinômio característico
det(A-lambda I) =det!4-lambda & 5[3pt]2 & 1-lambda =(4-lambda)(1-lambda)-10 ]

Passo 3

Expandindo temos
(4-lambda)(1-lambda)-10 =lambda^2-5lambda-6 =(lambda-6)(lambda+1)
Logo os autovalores são lambda1=6 e lambda2=-1.

Passo 4

Para lambda1=6 resolvemos (A-6I)v=0, ou seja
-2 & 5[3pt]2 & -5 x[3pt]y=0[3pt]0 ;Longrightarrow;-2x+5y=0;Longrightarrow;y=tfrac25x
Um autovetor não nulo é v1=(5,2).
Para lambda2=-1 resolvemos (A+I)v=0, ou seja
5 & 5[3pt]2 & 2 x[3pt]y=0[3pt]0 ;Longrightarrow;5x+5y=0;Longrightarrow;y=-x
Um autovetor não nulo é v2=(1,-1).]

Passo 5

Os vetores v1=(5,2) e v2=(1,-1) são linearmente independentes e formam uma base de autovetores. Nessa base a matriz de T é diag(6,-1).

Resposta

Uma base de R^2 em que a matriz de T fica diagonal é
(5,2),,(1,-1)

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