Verifique se o operador linear definido por T: R^4 R^4 definido por T(x, y, z, t)=(3 x-4 z, 3 y+5 z,-z,-t) é diagonalizável, .

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o operador linear
Tcolon R^4to R^4 dado por
T(x,y,z,t) = (,3x - 4z,;3y + 5z,;-,z,;-,t)
é diagonalizável.
Conteúdo: diagonalização de operador (ou matriz) via valores e vetores próprios. Vamos representar T em base canônica, achar autovalores e dimensões de autovetores.

Passo 2

Escrevendo T na base canônica e1,e2,e3,e4, obtemos a matriz triangular
A = 3 & 0 & -4 & 0 0 & 3 & 5 & 0 0 & 0 & -1 & 0 0 & 0 & 0 & -1

Passo 3

Como A é triangular, seus autovalores são as entradas da diagonal:
lambda1 = 3(mu<iplicidade algébrica 2), lambda2 = -1(mu<iplicidade algébrica 2) éé

Passo 4

Para
logo , e ficam livres.
A dimensão do autoespaço de é , igual à multiplicidade algébrica.

Passo 5

Para
o que leva a , com e livres.
A dimensão do autoespaço de é , igual à multiplicidade algébrica.
Como a soma das dimensões dos autoespaços é , temos um conjunto de 4 autovetores linharesmente independentes.

Resposta

O operador T é diagonalizável.

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