Verifique se a matriz [ccc2 & 1 & 0 0 & 1 & -1 0 & 2 & 4] é diagonalizável.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a matriz
A = 2 & 1 & 0 0 & 1 & -1 0 & 2 & 4
é diagonalizável. Para isso a gente vai usar a teoria de diagonalização de matrizes: A é diagonalizável se e somente se existir uma base de R^3 formada por autovetores de A. Equivalentemente, para cada autovalor lambda, a sua multiplicidade geométrica (dimensão do espaço próprio) deve coincidir com a multiplicidade algébrica (da fatoração do polinômio característico).

Passo 2

Vamos calcular o polinômio característico chiA(lambda)=det(A-lambda I).
A-lambda I = 2-lambda & 1 & 0 0 & 1-lambda & -1 0 & 2 & 4-lambda
e, expandindo pela primeira coluna,
chiA(lambda) =(2-lambda)det!1-lambda & -12 & 4-lambda = (2-lambda)l[(1-lambda)(4-lambda)+2r]
Calculando o termo interno,
(1-lambda)(4-lambda)+2 =lambda^2 -5lambda +4 +2 =lambda^2 -5lambda +6 =(lambda-2)(lambda-3)
Portanto
chiA(lambda) =(2-lambda)(lambda-2)(lambda-3) =-(lambda-2)^2(lambda-3)

Passo 3

Da fatoração chiA(lambda)=-(lambda-2)^2(lambda-3) deduzimos os autovalores e suas multiplicidades algébricas:
lambda1 = 2(alg mu< 2), lambda2 = 3(alg mu< 1)

Passo 4

Agora calculamos o espaço próprio para lambda=2, resolvendo (A-2I)x=0.
A-2I = 0 & 1 & 0 0 & -1 & -1 0 & 2 & 2 , x=(x,y,z)^T
As equações são
y=0, -,y - z=0implies z=0,
e a terceira linha é redundante. Logo y=0, z=0 e x fica livre. O espaço próprio é
(x,0,0)mid xinR,
cuja dimensão é 1. Isso mostra que a multiplicidade geométrica de lambda=2 é 1, menor que a algébrica 2.

Passo 5

Como para lambda=2 a multiplicidade geométrica (1) é menor que a algébrica (2), falta um autovetor para completar a base de R^3. Portanto A não é diagonalizável.

Resposta

A matriz não é diagonalizável.

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