Para que valores de
, inteiro positivo,
é real?
Passo 1
O enunciado pede para encontrar todos os inteiros positivos
tais que
seja um número real. O conteúdo aqui é a forma polar de um número complexo e a aplicação do Teorema de De Moivre para elevar à potência.
Passo 2
Primeiro a gente escreve
na forma polar. No plano complexo,
tem módulo
e argumento
, pois faz 45° com o eixo real. Então podemos escrever
Passo 3
Usando o Teorema de De Moivre, elevamos à potência
:
Passo 4
Para que
seja real, a parte imaginária tem de ser zero. Logo precisamos de
Passo 5
A equação
acontece quando
, com
inteiro. Aqui temos
Passo 6
Como
é um inteiro positivo, concluímos que só dá certo quando
é múltiplo de 4.