Para que valores de n, inteiro positivo, (1+i)^n é real?

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todos os inteiros positivos n tais que (1+i)^n seja um número real. O conteúdo aqui é a forma polar de um número complexo e a aplicação do Teorema de De Moivre para elevar à potência.

Passo 2

Primeiro a gente escreve 1+i na forma polar. No plano complexo, 1+i tem módulo raiz1^2+1^2=raiz2 e argumento arg(1+i)=pi/4, pois faz 45° com o eixo real. Então podemos escrever
1+i = raiz2,e^ipi/4

Passo 3

Usando o Teorema de De Moivre, elevamos à potência n:
(1+i)^n = (raiz2,e^ipi/4)^n = (raiz2)^n ;e^i npi/4 = 2^n/2l[cos(npi/4)+isin(npi/4)r]

Passo 4

Para que (1+i)^n seja real, a parte imaginária tem de ser zero. Logo precisamos de
sinl(npi/4r)=0

Passo 5

A equação sin(theta)=0 acontece quando theta = kpi, com k inteiro. Aqui temos
npi/4 = kpi Longrightarrow n/4 = k Longrightarrow n = 4k

Passo 6

Como n é um inteiro positivo, concluímos que só dá certo quando n é múltiplo de 4.

Resposta

n = 4k, com k inteiro positivo.

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