Resolva o sistema pelo método do escalonamento

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício pede. Temos um sistema de três equações com três incógnitas ( x, y e z) e nosso objetivo é resolver esse sistema usando o método do escalonamento. Para isso, vamos precisar eliminar uma variável de cada vez para simplificar as equações até encontrarmos os valores de x, y e z.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações que precisamos resolver:
2x + 4y - z = 7 x - 2y + 3z = 1 3x + 5y + z = 12
Nosso plano é eliminar uma das variáveis de duas das equações para reduzir o sistema a duas equações com duas incógnitas.

Passo 3

Vamos começar eliminando a variável x. Para isso, podemos usar a primeira e a segunda equação. Primeiro, multiplicamos a segunda equação por 2 para que o coeficiente de x seja igual ao da primeira equação:
2(x - 2y + 3z) = 2 times 1 implies 2x - 4y + 6z = 2
Agora, subtraímos a primeira equação dessa nova equação:
(2x - 4y + 6z) - (2x + 4y - z) = 2 - 7 -8y + 7z = -5
Agora, temos uma nova equação sem a variável x:
-8y + 7z = -5 (Equação 4) çã

Passo 4

Vamos eliminar x novamente, agora usando a primeira e a terceira equação. Multiplicamos a primeira equação por 3 e a terceira equação por 2 para igualar os coeficientes de x:
3(2x + 4y - z) = 3 times 7 implies 6x + 12y - 3z = 21 2(3x + 5y + z) = 2 times 12 implies 6x + 10y + 2z = 24
Agora, subtraímos a segunda equação modificada da primeira:
(6x + 12y - 3z) - (6x + 10y + 2z) = 21 - 24 2y - 5z = -3
Obtivemos mais uma equação sem x:
2y - 5z = -3 (Equação 5) çã

Passo 5

Agora, temos um sistema com duas equações e duas incógnitas:
-8y + 7z = -5 2y - 5z = -3
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de y e z.

Passo 6

Para eliminar uma das variáveis, por exemplo y, podemos multiplicar a segunda equação por 4 para que os coeficientes de y se tornem opostos:
4(2y - 5z) = 4 times (-3) implies 8y - 20z = -12
Agora, somamos essa equação à primeira equação do sistema:
-8y + 7z + 8y - 20z = -5 - 12 -13z = -17 z = -17-13 = 1713

Passo 7

Com o valor de z encontrado, substituímos em uma das equações para encontrar y. Vamos usar a Equação 5:
2y - 5(1713) = -3 2y - 8513 = -3 2y = -3 + 8513 2y = -39 + 8513 = 4613 y = 4626 = 2313

Passo 8

Agora que temos y = 2313 e z = 1713, substituímos esses valores em uma das equações originais para encontrar x. Vamos usar a primeira equação:
2x + 4(2313) - 1713 = 7 2x + 9213 - 1713 = 7 2x + 7513 = 7 2x = 7 - 7513 2x = 91 - 7513 = 1613 x = 1626 = 813

Resposta

A solução do sistema é:
x = 813, y = 2313, z = 1713

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