Determine y^{\prime} sabendo que x^{2} y^{2}+x \operatorname{sen}(y)=0.

Passo 1

O enunciado dá a relação implícita
x^{2}y^{2} + x\operatorname{sen}(y) = 0
e pede \,y'=\frac{dy}{dx}.
O conteúdo aqui é diferenciação implícita: vamos diferenciar ambos os lados em relação a x, lembrando que y é função de x (portanto \frac{d}{dx}y = y').

Passo 2

Diferenciando \,x^{2}y^{2} usa-se a regra do produto:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}y^{2}\bigr) = 2x\,y^{2} + x^{2}\cdot 2y\,y' = 2x y^{2} + 2x^{2}y\,y'.

Passo 3

Diferenciando \,x\operatorname{sen}(y) também pela regra do produto:
\frac{d}{dx}\bigl(x\operatorname{sen}(y)\bigr) = 1\cdot\operatorname{sen}(y) + x\cdot\cos(y)\,y' = \operatorname{sen}(y) + x\cos(y)\,y'.

Passo 4

Somando as derivadas e igualando a zero (pois o lado direito da equação original é constante 0):
\bigl(2x y^{2} + 2x^{2}y\,y'\bigr) + \bigl(\operatorname{sen}(y) + x\cos(y)\,y'\bigr) = 0.
Agrupando termos com y' de um lado:
2x^{2}y\,y' + x\cos(y)\,y' + 2x y^{2} + \operatorname{sen}(y) = 0
y'\bigl(2x^{2}y + x\cos(y)\bigr) + \bigl(2x y^{2} + \operatorname{sen}(y)\bigr) = 0.

Passo 5

Isolando y':
y' = -\,\frac{2x y^{2} + \operatorname{sen}(y)}{2x^{2}y + x\cos(y)}.

Resposta

y' = -\,\frac{2x y^{2} + \operatorname{sen}(y)}{2x^{2}y + x\cos(y)}.

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