1. Encontre as coordenadas x de todos os pontos sobre a curva y=\operatorname{sen} 2 x-2 \operatorname{sen} x nos quais a reta tangente é horizontal.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar todas as coordenadas x dos pontos da curva y=\operatorname{sen}2x-2\operatorname{sen}x onde a reta tangente é horizontal.
Informações dadas e o que isso significa:
  • A curva é dada por y=\operatorname{sen}2x-2\operatorname{sen}x.
  • “Reta tangente horizontal” significa que a derivada y' (a inclinação da tangente) é igual a zero no ponto. Portanto precisamos resolver a equação y'=0.
  • Procuramos todas as soluções x (todas as famílias periódicas) que satisfazem essa condição.

Passo 2

Vamos lembrar como calcular derivadas de funções trigonométricas básicas (aula curta e prática):
  • A derivada de \operatorname{sen}u em relação a x é \dfrac{d}{dx}\operatorname{sen}u=\cos u\cdot u', onde u'=du/dx. Isso é a regra da cadeia: derivar a função externa ( \operatorname{sen}) e multiplicar pela derivada do argumento u.
  • No nosso caso aparecerá \operatorname{sen}2x cujo argumento é u=2x. A derivada de 2x é 2, então a derivada de \operatorname{sen}2x será 2\cos 2x.
  • A derivada de -2\operatorname{sen}x é -2\cos x, pois \dfrac{d}{dx}\operatorname{sen}x=\cos x e o fator constante -2 sai multiplicando.

Passo 3

Calculemos a derivada y' aplicando o que explicamos:
y=\operatorname{sen}2x-2\operatorname{sen}x,
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y'=\frac{d}{dx}\big(\operatorname{sen}2x\big)-2\frac{d}{dx}\big(\operatorname{sen}x\big)=2\cos 2x-2\cos x.
Fatorando 2:
y'=2\big(\cos 2x-\cos x\big).

Passo 4

Condição de tangente horizontal: y'=0. Como o fator 2 é diferente de zero, isso equivale a
\cos 2x-\cos x=0\quad\Longrightarrow\quad \cos 2x=\cos x.

Passo 5

Para resolver \cos 2x=\cos x vamos usar a identidade de ângulo duplo para \cos 2x:
\cos 2x=2\cos^2 x-1.
Substituindo na equação:
2\cos^2 x-1=\cos x.
Reescrevendo como equação quadrática em c=\cos x:
2c^2-c-1=0.

Passo 6

Resolvendo a quadrática 2c^2-c-1=0. Calculamos o discriminante:
\Delta =(-1)^2-4\cdot 2\cdot(-1)=1+8=9.
As raízes são
c=\frac{1\pm\sqrt{9}}{2\cdot 2}=\frac{1\pm 3}{4}.
Portanto:
c_1=\frac{1+3}{4}=1,\qquad c_2=\frac{1-3}{4}=-\frac{1}{2}.
Isto é, \cos x=1 ou \cos x=-\dfrac{1}{2}.

Passo 7

Agora encontramos as soluções em x para cada caso, lembrando a periodicidade do cosseno ( 2\pi):
  • Se \cos x=1, as soluções são exatamente
x=2k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z},
pois o cosseno vale 1 nos múltiplos de 2\pi.
  • Se \cos x=-\dfrac{1}{2}, sabemos que no intervalo principal isso ocorre em x=\dfrac{2\pi}{3} e x=\dfrac{4\pi}{3}. Incluindo a periodicidade, as soluções gerais são
x=\frac{2\pi}{3}+2k\pi\quad\text{e}\quad x=\frac{4\pi}{3}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.
(Alternativamente pode-se escrever x=\pm\frac{2\pi}{3}+2k\pi, mas preferi listar as duas famílias explicitamente.)

Passo 8

Resumo final: todas as abscissas x onde a reta tangente à curva é horizontal são as famílias que acabamos de obter. Vai dar um bom mapa mental lembrar que aparecem as famílias periódicas em 2\pi.

Resposta

x=2k\pi,\\ k\in\mathbb{Z}
x=\dfrac{2\pi}{3}+2k\pi,\\ k\in\mathbb{Z}
x=\dfrac{4\pi}{3}+2k\pi,\\ k\in\mathbb{Z}

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