- Encontre as coordenadas
de todos os pontos sobre a curva
nos quais a reta tangente é horizontal.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar todas as coordenadas
dos pontos da curva
onde a reta tangente é horizontal.
Informações dadas e o que isso significa:
- A curva é dada por
. - “Reta tangente horizontal” significa que a derivada
(a inclinação da tangente) é igual a zero no ponto. Portanto precisamos resolver a equação . - Procuramos todas as soluções
(todas as famílias periódicas) que satisfazem essa condição.
Passo 2
Vamos lembrar como calcular derivadas de funções trigonométricas básicas (aula curta e prática):
- A derivada de
em relação a é , onde . Isso é a regra da cadeia: derivar a função externa ( ) e multiplicar pela derivada do argumento . - No nosso caso aparecerá
cujo argumento é . A derivada de é , então a derivada de será . - A derivada de
é , pois e o fator constante sai multiplicando.
Passo 3
Calculemos a derivada
aplicando o que explicamos:
logo
Fatorando
:
Passo 4
Condição de tangente horizontal:
. Como o fator
é diferente de zero, isso equivale a
Passo 5
Para resolver
vamos usar a identidade de ângulo duplo para
:
Substituindo na equação:
Reescrevendo como equação quadrática em
:
Passo 6
Resolvendo a quadrática
. Calculamos o discriminante:
As raízes são
Portanto:
Isto é,
ou
.
Passo 7
Agora encontramos as soluções em
para cada caso, lembrando a periodicidade do cosseno (
):
- Se
, as soluções são exatamente
pois o cosseno vale
nos múltiplos de
.
- Se
, sabemos que no intervalo principal isso ocorre em e . Incluindo a periodicidade, as soluções gerais são
(Alternativamente pode-se escrever
, mas preferi listar as duas famílias explicitamente.)
Passo 8
Resumo final: todas as abscissas
onde a reta tangente à curva é horizontal são as famílias que acabamos de obter. Vai dar um bom mapa mental lembrar que aparecem as famílias periódicas em
.