Para quais valores reais de k, os pontos (6, k),(3,4) e (2-k, 2) säo colineares?

Passo 1

Resumindo, temos os pontos A=(6,k), B=(3,4) e C=(2-k,2). Para que eles sejam colineares, o coeficiente angular do segmento AB deve ser igual ao coeficiente angular do segmento BC. Usaremos a definição de coeficiente angular (slope) para resolver.

Passo 2

O coeficiente angular de AB é
m_{AB} = \frac{k - 4}{6 - 3} = \frac{k - 4}{3},
e o coeficiente angular de BC é
m_{BC} = \frac{4 - 2}{\,3 - (2 - k)\,} = \frac{2}{1 + k}.

Passo 3

Colineares \Longrightarrow m_{AB} = m_{BC}. Logo,
\frac{k - 4}{3} = \frac{2}{1 + k}.

Passo 4

Fazendo o produto cruzado:
(k - 4)(1 + k) = 3 \cdot 2 \quad\Longrightarrow\quad k^2 - 3k - 4 = 6 \quad\Longrightarrow\quad k^2 - 3k - 10 = 0.
Resolvendo a equação quadrática:
k = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2} = \frac{3 \pm 7}{2} \;\Longrightarrow\; k = 5 \quad\text{ou}\quad k = -2.

Resposta

k = 5 ou k = -2.

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