Calcule o perímetro do triângulo de vértices \mathrm{A}(4,7), \mathrm{B}(-1,-8) e \mathrm{C}(8,-5).

Passo 1

O enunciado dá um triângulo cujos vértices são \mathrm{A}(4,7), \mathrm{B}(-1,-8) e \mathrm{C}(8,-5), e pede o perímetro. O perímetro é a soma dos comprimentos dos lados AB, BC e CA. Para cada lado usamos a fórmula da distância entre dois pontos no plano:
d = \sqrt{\bigl(x_2 - x_1\bigr)^2 + \bigl(y_2 - y_1\bigr)^2}.

Passo 2

Calcular AB entre \mathrm{A}(4,7) e \mathrm{B}(-1,-8). As diferenças são
\Delta x = 4 - (-1) = 5,\qquad \Delta y = 7 - (-8) = 15.
Logo,
AB = \sqrt{5^2 + 15^2} = \sqrt{25 + 225} = \sqrt{250} = 5\sqrt{10}.

Passo 3

Calcular BC entre \mathrm{B}(-1,-8) e \mathrm{C}(8,-5). As diferenças são
\Delta x = 8 - (-1) = 9,\qquad \Delta y = -5 - (-8) = 3.
Logo,
BC = \sqrt{9^2 + 3^2} = \sqrt{81 + 9} = \sqrt{90} = 3\sqrt{10}.

Passo 4

Calcular CA entre \mathrm{C}(8,-5) e \mathrm{A}(4,7). As diferenças são
\Delta x = 4 - 8 = -4,\qquad \Delta y = 7 - (-5) = 12.
Logo,
CA = \sqrt{(-4)^2 + 12^2} = \sqrt{16 + 144} = \sqrt{160} = 4\sqrt{10}.

Passo 5

Somando os três lados, o perímetro P é
P = AB + BC + CA = 5\sqrt{10} + 3\sqrt{10} + 4\sqrt{10} = 12\sqrt{10}.

Resposta

12\sqrt{10}

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