Os valores de alpha e beta para que sejam colineares os pontos P(4,2,-4), Q(alpha, 1, beta) e R(3,6,3) são, respectivamente:

Passo 1

O enunciado pede para determinar alpha e beta tais que os pontos P(4,2,-4), Q(alpha,1,beta) e R(3,6,3) sejam colineares em R^3. O conteúdo envolvido é geometria analítica espacial: três pontos são colineares se, e somente se, os vetores PQ e PR forem paralelos.

Passo 2

Calculemos o vetor PR subtraindo as coordenadas de P das de R:\r
PR = R - P = (3-4,;6-2,;3-(-4)) = (-1,;4,;7)

Passo 3

O vetor PQ é dado por\r
PQ = Q - P = (alpha-4,;1-2,;beta-(-4)) = (alpha-4,;-1,;beta+4) \r
Para paralelismo, existe lambda tal que\r
PQ = lambda,PR

Passo 4

Comparemos componente a componente. Da segunda coordenada:\r
-1 = lambda cdot 4 Longrightarrow lambda = -tfrac14

Passo 5

Use lambda=-tfrac14 para achar alpha pela primeira coordenada:\r
alpha - 4 = lambda cdot (-1) Longrightarrow alpha - 4 = -tfrac14cdot(-1) = tfrac14 Longrightarrow alpha = 4 + tfrac14 = tfrac174 \r
E pela terceira coordenada, determine beta:\r
beta + 4 = lambda cdot 7 Longrightarrow beta + 4 = -tfrac14cdot 7 = -tfrac74 Longrightarrow beta = -tfrac74 - 4 = -tfrac74 - tfrac164 = -tfrac234

Resposta

alpha = tfrac174, beta = -tfrac234

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