Para que valores de m o sistema tem infinitas soluções?
\begin{aligned} x_{1}+2 x_{2}-x_{3}+x_{4} & =3 \\\\ 2 x_{1}+5 x_{2}+2 x_{3}-x_{4} & =7 \\\ x_{1}+3 x_{2}+3 x_{3}-2 x_{4} & =4 \\\\ 3 x_{1}+7 x_{2}+x_{3}+m x_{4} & =10 \end{aligned}

Passo 1

O enunciado dá o seguinte sistema linear em quatro incógnitas x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}:
\begin{aligned} x_{1}+2 x_{2}-x_{3}+x_{4} & =3,\\[4pt] 2 x_{1}+5 x_{2}+2 x_{3}-x_{4} & =7,\\[4pt] x_{1}+3 x_{2}+3 x_{3}-2 x_{4} & =4,\\[4pt] 3 x_{1}+7 x_{2}+x_{3}+m x_{4} & =10. \end{aligned}
A pergunta é: para quais valores de m o sistema tem infinitas soluções?]

Passo 2

Explicando a ideia que vamos usar (de um jeito bem tranquilo): um sistema linear tem infinitas soluções quando é consistente (sem contradição) e o número de equações independentes (o posto da matriz dos coeficientes) é menor que o número de incógnitas. Formalmente, escrevendo A a matriz dos coeficientes e (A|b) a matriz aumentada, o sistema tem infinitas soluções quando
\operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}(A|b)<4,
porque aqui há 4 incógnitas. Vou aplicar eliminação de Gauss na matriz aumentada para achar o posto e ver quando há contradição ou liberdade de variáveis.

Passo 3

Escrevo a matriz aumentada (A|b):
\left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & -1 & 1 & 3\\[4pt] 2 & 5 & 2 & -1 & 7\\[4pt] 1 & 3 & 3 & -2 & 4\\[4pt] 3 & 7 & 1 & m & 10 \end{array}\right).
Faço operações linha para eliminar abaixo do pivô da primeira linha ( R_1):
  • R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1,
  • R_3 \leftarrow R_3 - R_1,
  • R_4 \leftarrow R_4 - 3R_1.
Calculo cada nova linha:
Para R_2: [2-2\cdot1,\;5-2\cdot2,\;2-2(-1),\;-1-2\cdot1,\;7-2\cdot3] = [0,1,4,-3,1].
Para R_3: [1-1,\;3-2,\;3-(-1),\;-2-1,\;4-3] = [0,1,4,-3,1].
Para R_4: [3-3,\;7-6,\;1-3(-1),\;m-3\cdot1,\;10-9] = [0,1,4,m-3,1].
Assim a matriz fica
\left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & -1 & 1 & 3\\[4pt] 0 & 1 & 4 & -3 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 4 & -3 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 4 & m-3 & 1 \end{array}\right).]

Passo 4

Agora uso a segunda linha R_2 como pivô e elimino abaixo:
  • R_3 \leftarrow R_3 - R_2,
  • R_4 \leftarrow R_4 - R_2.
Para R_3: [0,1,4,-3,1] - [0,1,4,-3,1] = [0,0,0,0,0] (linha nula).
Para R_4: [0,1,4,m-3,1] - [0,1,4,-3,1] = [0,0,0,m,0] (porque (m-3)-(-3)=m e 1-1=0).
A matriz na forma intermediária fica
\left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & -1 & 1 & 3\\[4pt] 0 & 1 & 4 & -3 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & m & 0 \end{array}\right).]

Passo 5

Interpretação das linhas resultantes:
  • Não apareceu nenhuma linha do tipo [0\;0\;0\;0\mid c] com c\neq0. Logo o sistema é sempre consistente (não há contradição independente de m).
  • As linhas não nulas indicam pivôs. Há pelo menos as duas primeiras linhas não nulas (pivôs nas colunas de x_1 e x_2). A quarta linha dá um pivô adicional na coluna de x_4 se, e somente se, m\neq0. Se m=0 a quarta linha também vira linha nula.
Portanto:
  • Se m\neq0 então as linhas não nulas são 3 (linha 1, linha 2 e linha 4), logo \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}(A|b)=3. Como 3<4, há variáveis livres e o sistema tem infinitas soluções (grau de liberdade =4-3=1).
  • Se m=0 então as linhas não nulas são 2 (linha 1 e linha 2), logo \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}(A|b)=2. Como 2<4, também há infinitas soluções (grau de liberdade =4-2=2).
Concluímos que para qualquer valor de m o sistema é consistente e tem posto menor que 4, logo sempre tem infinitas soluções.

Passo 6

(Para fixar bem o entendimento, mostro as soluções em forma parametrizada nos dois casos.)
  • Caso m\neq0\): da última linha \(m x_{4}=0\) segue \(x_{4}=0\). Seja \(s\) um parâmetro para \(x_{3}\): \(x_{3}=s\). Da segunda linha \(x_{2}+4x_{3}-3x_{4}=1\) vem \(x_{2}=1-4s\). Da primeira linha \(x_{1}+2x_{2}-x_{3}+x_{4}=3\) vem \[x_{1}=3-2x_{2}+x_{3}-x_{4}=3-2(1-4s)+s=1+9s.
Solução geral ( m\neq0 ):
\begin{cases} x_{1}=1+9s,\\[4pt] x_{2}=1-4s,\\[4pt] x_{3}=s,\\[4pt] x_{4}=0, \end{cases}\quad s\in\mathbb{R}.
  • Caso m=0\]: a quarta linha é nula, então \(x_{3} e x_{4} são parâmetros livres. Chamando s=x_{3} e t=x_{4}, da segunda linha obtemos x_{2}=1-4s+3t. Da primeira linha obtemos
x_{1}=3-2x_{2}+x_{3}-x_{4}=1+9s-7t.
Solução geral ( m=0 ):
\begin{cases} x_{1}=1+9s-7t,\\[4pt] x_{2}=1-4s+3t,\\[4pt] x_{3}=s,\\[4pt] x_{4}=t, \end{cases}\quad s,t\in\mathbb{R}.]

Resposta

\,m\in\mathbb{R}\,

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