O enunciado dá um sistema de quatro equações lineares com quatro incógnitas x_{1},x_{2},x_{3},x_{4} e pede: determinar os valores de \delta para os quais o sistema é consistente.
com b\neq0. Em termos matriciais, o sistema é consistente quando a matriz dos coeficientes e a matriz aumentada (coeficientes com coluna dos termos independentes) têm a mesma posto (rank). Uma forma prática de verificar isso é aplicar eliminação de Gauss (operações elementares sobre linhas) e ver se surge uma linha do tipo [0\\\ 0\\\ 0\\\ 0 \mid b] com b\neq0. Operações elementares de linha não mudam a existência de soluções, só tornam o sistema mais simples de analisar.
Vou aplicar eliminação de Gauss passo a passo no sistema aumentado.
Passo 3
Escrevendo a matriz aumentada inicial (peguei os coeficientes e termos independentes do enunciado):
Observação didática: repare que a terceira linha agora envolve apenas x_3 e x_4, e a quarta linha também — estamos aproximando o sistema de uma forma triangular superior.]
Passo 6
Terceira rodada: usar a terceira linha como pivô (na coluna 3) e zerar o elemento abaixo dela na coluna 3. A operação conveniente é:
R_4 \leftarrow R_4 + R_3,
pois 4 + (-4) = 0.
Calculemos:
Coluna 3: 4 + (-4) = 0.
Coluna 4: 36 + 4 = 40.
Termo independente: \delta+23 + 0 = \delta+23 (notei que o termo independente da terceira linha é 0).
Interpretação do resultado (aula rápida): a última linha da matriz reduzida corresponde à equação
40 x_{4} = \delta+23.
Essa equação não é contraditória — tem solução para x_{4} para qualquer valor de \delta, pois o coeficiente de x_{4} é 40\neq0. Não apareceu nenhuma linha do tipo [0\\\ 0\\\ 0\\\ 0 \mid b] com b\neq0. Portanto a matriz dos coeficientes tem posto (rank) igual a 4 e a matriz aumentada também tem posto 4 para qualquer \delta. Em termos simples: não há restrição sobre \delta para que o sistema seja consistente.
Se quiser ver a solução explícita, da última equação vem
x_{4}=\frac{\delta+23}{40},
e as equações acima permitem determinar x_{3},x_{2},x_{1} de maneira única a partir desse x_{4}. Mas para a pergunta original basta saber que sempre existe solução.
Resposta
Para todo \delta\in\mathbb{R} o sistema é consistente.