Determine os valores de \delta para os quais o sistema é consistente:
\begin{aligned} & x_{1}+2 x_{2}+3 x_{3}+4 x_{4}=10 \\\ & 2 x_{1}+3 x_{2}+4 x_{3}+x_{4}=11 \\\ & 3 x_{1}+4 x_{2}+x_{3}+2 x_{4}=12 \\\ & 4 x_{1}+x_{2}+2 x_{3}+3 x_{4}=\delta \end{aligned}

Passo 1

O enunciado dá um sistema de quatro equações lineares com quatro incógnitas x_{1},x_{2},x_{3},x_{4} e pede: determinar os valores de \delta para os quais o sistema é consistente.
As equações fornecidas são:
\begin{aligned} & x_{1}+2 x_{2}+3 x_{3}+4 x_{4}=10,\\[4pt] & 2 x_{1}+3 x_{2}+4 x_{3}+x_{4}=11,\\[4pt] & 3 x_{1}+4 x_{2}+x_{3}+2 x_{4}=12,\\[4pt] & 4 x_{1}+x_{2}+2 x_{3}+3 x_{4}=\delta. \end{aligned}
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Coeficientes das equações (cada linha corresponde a um vetor de coeficientes).
  • O único dado que varia é o termo independente da quarta equação, \delta.
  • Pergunta: para quais \delta o sistema admite solução (isto é, é consistente)?]

Passo 2

Breve explicação do conceito que vou usar (didática): um sistema linear é consistente se não ocorre uma equação contraditória do tipo
0\cdot x_{1}+0\cdot x_{2}+0\cdot x_{3}+0\cdot x_{4}=b
com b\neq0. Em termos matriciais, o sistema é consistente quando a matriz dos coeficientes e a matriz aumentada (coeficientes com coluna dos termos independentes) têm a mesma posto (rank). Uma forma prática de verificar isso é aplicar eliminação de Gauss (operações elementares sobre linhas) e ver se surge uma linha do tipo [0\\\ 0\\\ 0\\\ 0 \mid b] com b\neq0. Operações elementares de linha não mudam a existência de soluções, só tornam o sistema mais simples de analisar.
Vou aplicar eliminação de Gauss passo a passo no sistema aumentado.

Passo 3

Escrevendo a matriz aumentada inicial (peguei os coeficientes e termos independentes do enunciado):
\left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & 3 & 4 & 10\\[4pt] 2 & 3 & 4 & 1 & 11\\[4pt] 3 & 4 & 1 & 2 & 12\\[4pt] 4 & 1 & 2 & 3 & \delta \end{array}\right)
Explicação curta: cada linha representa uma equação; a coluna à direita do traço vertical são os termos independentes.]

Passo 4

Primeira rodada de eliminação: usar a primeira linha como pivô e zerar a primeira coluna abaixo dela.
Faço as operações (estas operações são do tipo R_j \leftarrow R_j - k R_1):
\begin{aligned} & R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1,\\[4pt] & R_3 \leftarrow R_3 - 3R_1,\\[4pt] & R_4 \leftarrow R_4 - 4R_1. \end{aligned}
Calculemos cada nova linha (mostrando os cálculos para ficar bem claro):
  • Para R_2: (2,3,4,1) - 2(1,2,3,4) = (0,-1,-2,-7) e 11 - 2\cdot10 = -9.
  • Para R_3: (3,4,1,2) - 3(1,2,3,4) = (0,-2,-8,-10) e 12 - 3\cdot10 = -18.
  • Para R_4: (4,1,2,3) - 4(1,2,3,4) = (0,-7,-10,-13) e \delta - 4\cdot10 = \delta-40.
A matriz aumentada fica:
\left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & 3 & 4 & 10\\[4pt] 0 & -1 & -2 & -7 & -9\\[4pt] 0 & -2 & -8 & -10 & -18\\[4pt] 0 & -7 & -10 & -13 & \delta-40 \end{array}\right)]

Passo 5

Segunda rodada: usar a segunda linha como pivô (na coluna 2) e zerar abaixo dela.
Operações:
\begin{aligned} & R_3 \leftarrow R_3 - 2R_2,\\[4pt] & R_4 \leftarrow R_4 - 7R_2. \end{aligned}
Cálculos:
  • Para R_3: (0,-2,-8,-10) - 2(0,-1,-2,-7) = (0,0,-4,4) e -18 - 2(-9) = -18 +18 = 0.
  • Para R_4: (0,-7,-10,-13) - 7(0,-1,-2,-7) = (0,0,4,36) e \delta-40 - 7(-9) = \delta-40 +63 = \delta+23.
A matriz agora é:
\left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & 3 & 4 & 10\\[4pt] 0 & -1 & -2 & -7 & -9\\[4pt] 0 & 0 & -4 & 4 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 4 & 36 & \delta+23 \end{array}\right)
Observação didática: repare que a terceira linha agora envolve apenas x_3 e x_4, e a quarta linha também — estamos aproximando o sistema de uma forma triangular superior.]

Passo 6

Terceira rodada: usar a terceira linha como pivô (na coluna 3) e zerar o elemento abaixo dela na coluna 3. A operação conveniente é:
R_4 \leftarrow R_4 + R_3,
pois 4 + (-4) = 0.
Calculemos:
  • Coluna 3: 4 + (-4) = 0.
  • Coluna 4: 36 + 4 = 40.
  • Termo independente: \delta+23 + 0 = \delta+23 (notei que o termo independente da terceira linha é 0).
A matriz reduzida fica:
\left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & 3 & 4 & 10\\[4pt] 0 & -1 & -2 & -7 & -9\\[4pt] 0 & 0 & -4 & 4 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 40 & \delta+23 \end{array}\right)]

Passo 7

Interpretação do resultado (aula rápida): a última linha da matriz reduzida corresponde à equação
40 x_{4} = \delta+23.
Essa equação não é contraditória — tem solução para x_{4} para qualquer valor de \delta, pois o coeficiente de x_{4} é 40\neq0. Não apareceu nenhuma linha do tipo [0\\\ 0\\\ 0\\\ 0 \mid b] com b\neq0. Portanto a matriz dos coeficientes tem posto (rank) igual a 4 e a matriz aumentada também tem posto 4 para qualquer \delta. Em termos simples: não há restrição sobre \delta para que o sistema seja consistente.
Se quiser ver a solução explícita, da última equação vem
x_{4}=\frac{\delta+23}{40},
e as equações acima permitem determinar x_{3},x_{2},x_{1} de maneira única a partir desse x_{4}. Mas para a pergunta original basta saber que sempre existe solução.

Resposta

Para todo \delta\in\mathbb{R} o sistema é consistente.

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