1. (2, 0 valores) Verifique se a série \sum_{n=3}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} \sqrt{n}}{n-1} converge absolutamente, condicionalmente ou diverge.

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série
\sum_{n=3}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{\sqrt{n}}{n-1}
fazendo a distinção entre convergência absoluta, condicional ou divergência.
Conteúdo necessário: teste de séries de termos positivos (p-série) para convergência absoluta e teste de Leibniz para séries alternadas.

Passo 2

Verificamos a convergência absoluta estudando
\sum_{n=3}^{\infty}\left|\frac{(-1)^{n-1}\sqrt{n}}{n-1}\right| =\sum_{n=3}^{\infty}\frac{\sqrt{n}}{n-1}.
Para n grande,
\frac{\sqrt{n}}{n-1}\sim\frac{\sqrt{n}}{n}=n^{-1/2},
e a p-série \sum n^{-1/2} diverge (pois p=\tfrac12\le1). Portanto não há convergência absoluta.

Passo 3

Agora aplicamos o teste de Leibniz à série original. Definimos
a_n = \frac{\sqrt{n}}{n-1},
de modo que a série fica \sum(-1)^{n-1}a_n. O teste de Leibniz exige:
  1. a_n>0 para todo n.
  2. \lim_{n\to\infty}a_n=0.
  3. (a_n) é decrescente a partir de algum n.

Passo 4

Calculamos o limite de a_n:
\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{n}}{n-1} =\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}\cdot\frac{1}{1-1/n} =0\cdot1=0.
Logo a condição (2) está satisfeita.

Passo 5

Mostramos que a_n é decrescente para n\ge3. Considere
f(x)=\frac{\sqrt{x}}{x-1}.
Sua derivada é
f'(x) =\frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}(x-1)-\sqrt{x}}{(x-1)^2} =\frac{\tfrac{x-1-2x}{2\sqrt{x}}}{(x-1)^2} =\frac{-\,\bigl(x+1\bigr)}{2\sqrt{x}\,(x-1)^2}<0 \quad\text{para }x>1.
Logo a_n=f(n) é decrescente para n\ge3, satisfazendo (3).

Passo 6

Pelo teste de Leibniz, como a_n>0, \lim a_n=0 e a_n decrescente, a série \sum(-1)^{n-1}a_n converge. Como não converge absolutamente, concluímos convergência condicional.

Resposta

A série converge condicionalmente.

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