Verifique se as séries numéricas positivas convergem:
\sum_{n=1}{\infty}\left(\frac{1+n}{n-2}\right){n^{2}}
\sum_{n=1}{\infty}\left(\frac{1+n}{n-2}\right){n^{2}}
Passo 1
O enunciado pede para testar a convergência da série
Como é uma série de termos positivos (a partir de
) e os termos envolvem potências em
, vamos usar o Teste da raiz (Cauchy) para séries numéricas.
Passo 2
Definimos
. O Teste da raiz diz que, se
existe e
, então a série diverge.
Passo 3
Calculamos a raiz
-ésima de
:
Passo 4
Para avaliar o limite
é conveniente trabalhar com o logaritmo:
Usamos a expansão para
grande:
Multiplicando por
:
logo
Desse modo,
Passo 5
Como
, o Teste da raiz garante que a série diverge. Além disso, o termo geral não tende a zero, pois cresce exponencialmente.
Resposta
A série diverge (não converge).