Para que valores de os vetores de coordenadas, em relação a uma base fixa, e são coplanares?
Passo 1
Beleza, a gente tem três vetores em :
O que a questão pede é: para quais valores de esses vetores são coplanares? Em Álgebra Linear, três vetores em são coplanares se, e somente se, o determinante da matriz formada por eles for zero.
Passo 2
Vamos montar essa matriz usando os vetores como linhas (ou colunas, dá no mesmo para o determinante):
Passo 3
Agora calculamos det(M) por desenvolvimento na primeira linha:
det(M) = a cdot deta & 1 [4pt] 1 & a -1 cdot det1 & 1 [4pt] 0 & a +0 cdot (dots)
Sabendo que
deta & 1 1 & a = a^2 - 1 e det1 & 1 0 & a = a
vem
det(M) = a,(a^2 - 1) - a = a^3 - a - a = a^3 - 2a ]