Para que valores de a in R os vetores de coordenadas, em relação a uma base fixa, (a, 1,0),(1, a, 1) e (0,1, a) são coplanares?

Passo 1

Beleza, a gente tem três vetores em R^3:
v1 = (a,1,0), v2 = (1,a,1), v3 = (0,1,a)
O que a questão pede é: para quais valores de a esses vetores são coplanares? Em Álgebra Linear, três vetores em R^3 são coplanares se, e somente se, o determinante da matriz formada por eles for zero.

Passo 2

Vamos montar essa matriz M usando os vetores como linhas (ou colunas, dá no mesmo para o determinante):
M = a & 1 & 0 1 & a & 1 0 & 1 & a

Passo 3

Agora calculamos det(M) por desenvolvimento na primeira linha:
det(M) = a cdot deta & 1 [4pt] 1 & a -1 cdot det1 & 1 [4pt] 0 & a +0 cdot (dots)
Sabendo que
deta & 1 1 & a = a^2 - 1 e det1 & 1 0 & a = a
vem
det(M) = a,(a^2 - 1) - a = a^3 - a - a = a^3 - 2a ]

Passo 4

Para que os vetores sejam coplanares, precisa dar
det(M)=0 ;Longrightarrow; a^3 - 2a = 0 ;Longrightarrow; a,(a^2 - 2) = 0 ;Longrightarrow; a = 0,;pmraiz2

Resposta

a = 0,;a = raiz2 ou a = -raiz2.

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