Mostre, usando vetores, que as diagonais de um losango são perpendiculares entre si, e que, reciprocamente, se um paralelogramo tem as diagonais perpendiculares entre si, então ele é um losango.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos, usando vetores, duas coisas: (i) que as diagonais de um losango são perpendiculares e (ii) que, reciprocamente, se um paralelogramo tem diagonais perpendiculares então ele é um losango. O conteúdo que vamos usar é geometria vetorial, em particular a representação das diagonais por soma e diferença de vetores e a condição de perpendicularidade via produto escalar.

Passo 2

Modelamos um paralelogramo escolhendo um vértice A como origem vec 0, o vértice B como vec u, o vértice D como vec v e o vértice oposto C como vec u+vec v.
Então a diagonal de A a C é
vec d1 = vec u + vec v
e a diagonal de B a D é
vec d2 = vec u - vec v

Passo 3

Para ver se as diagonais são perpendiculares, calculamos o produto escalar
vec d1 cdot vec d2 = (vec u + vec v)cdot(vec u - vec v)
Pela bilinearidade e com vec ucdotvec v=vec vcdotvec u, segue
vec d1cdotvec d2 = vec ucdotvec u - vec ucdotvec v + vec vcdotvec u - vec vcdotvec v = |vec u|^2 - |vec v|^2

Passo 4

Se o paralelogramo é um losango, temos |vec u|=|vec v|. Então
vec d1cdotvec d2 = |vec u|^2 - |vec v|^2 = 0,
o que mostra que as diagonais são perpendiculares.

Passo 5

Reciprocamente, suponha que num paralelogramo vec d1cdotvec d2=0. Então
|vec u|^2 - |vec v|^2 = 0 Longrightarrow |vec u|=|vec v|
Isto quer dizer que os lados adjacentes têm igual comprimento, logo o paralelogramo é um losango.

Resposta

Mostramos que num losango as diagonais são perpendiculares entre si e, reciprocamente, que se num paralelogramo as diagonais são perpendiculares então ele é um losango.

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