Mostre, usando vetores, que as diagonais de um losango são perpendiculares entre si, e que, reciprocamente, se um paralelogramo tem as diagonais perpendiculares entre si, então ele é um losango.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos, usando vetores, duas coisas: (i) que as diagonais de um losango são perpendiculares e (ii) que, reciprocamente, se um paralelogramo tem diagonais perpendiculares então ele é um losango. O conteúdo que vamos usar é geometria vetorial, em particular a representação das diagonais por soma e diferença de vetores e a condição de perpendicularidade via produto escalar.
Passo 2
Modelamos um paralelogramo escolhendo um vértice
como origem
, o vértice
como
, o vértice
como
e o vértice oposto
como
.
Então a diagonal de a
é
Então a diagonal de
e a diagonal de
a
é
Passo 3
Para ver se as diagonais são perpendiculares, calculamos o produto escalar
Pela bilinearidade e com
, segue
Passo 4
Se o paralelogramo é um losango, temos
. Então
o que mostra que as diagonais são perpendiculares.
Passo 5
Reciprocamente, suponha que num paralelogramo
. Então
Isto quer dizer que os lados adjacentes têm igual comprimento, logo o paralelogramo é um losango.
Resposta
Mostramos que num losango as diagonais são perpendiculares entre si e, reciprocamente, que se num paralelogramo as diagonais são perpendiculares então ele é um losango.