Para quais valores de m os vetores (-1, m+3,3),(-4,0,-m) e (0,-m,-4) são linearmente dependentes?

Passo 1

O enunciado nos dá três vetores em R^3:
v1 = (-1,,m+3,,3), v2 = (-4,,0,,-m), v3 = (0,,-m,,-4)
e pede os valores de m para os quais esses vetores são linearmente dependentes. Vetores em R^3 são linearmente dependentes se, e somente se, o determinante da matriz que os tem como linhas (ou colunas) for zero. Portanto, vamos montar essa matriz e impor que seu determinante seja nulo.

Passo 2

Montamos a matriz A cujas linhas são v1, v2 e v3:
A = -1 & m+3 & 3 -4 & 0 & -m 0 & -m & -4
Precisamos calcular det(A) e resolver det(A)=0.

Passo 3

Usando a expansão pela primeira linha, escrevemos
det(A) = -1cdotdet0 & -m-m & -4 -(m+3)cdotdet-4 & -m0 & -4 +3cdotdet-4 & 00 & -m
Agora calculamos cada menor:
det0 & -m-m & -4 =0cdot(-4)-(-m)(-m)=-m^2,
det-4 & -m0 & -4 =(-4)(-4)-0cdot(-m)=16,
det-4 & 00 & -m =(-4)(-m)-0cdot0=4m
Substituindo,
det(A) =-1cdot(-m^2)-(m+3)cdot16+3cdot(4m) = m^2-16m-48+12m = m^2-4m-48

Passo 4

Impondo det(A)=0 temos a equação quadrática
m^2-4m-48=0
Aplicando a fórmula de Bhaskara,
m = 4pmraiz(-4)^2-4cdot1cdot(-48)2 = 4pmraiz16+1922 = 4pmraiz2082 = 4pm4raiz132 =2pm2raiz13

Resposta

Os vetores são linearmente dependentes se, e só se,
m = 2 + 2raiz13 ou m = 2 - 2raiz13

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