Para uma única escolha do parâmetro m os pontos A=(1,0,2 m+1),
B=(1-m, m+3,2 m) e C=(4,-3,2) formam um triângulo retângulo no vértice A. Desenhe!
A área do triângulo é:

Passo 1

O enunciado dá os pontos
A=(1,0,2m+1), B=(1-m,m+3,2m), C=(4,-3,2)
e pede para achar o valor de m de modo que o ângulo em A seja reto. Vamos usar o conceito de produto escalar em R^3: dois vetores são perpendiculares se e somente se seu produto escalar é zero. Depois disso, calculamos a área do triângulo retângulo como metade do produto das normas dos catetos.

Passo 2

Formamos os vetores
AB=B-A=(1-m-1,;m+3-0,;2m-(2m+1))=(-m,;m+3,;-1),
AC=C-A=(4-1,;-3-0,;2-(2m+1))=(3,;-3,;1-2m)

Passo 3

Impondo ABcdotAC=0 para garantir retidão em A, temos
(-m)cdot3+(m+3)cdot(-3)+(-1)cdot(1-2m)=0
Isso dá
-3m-3m-9-1+2m=0Longrightarrow -4m-10=0Longrightarrow m=-tfrac52

Passo 4

Substituindo m=-tfrac52, os vetores ficam
AB=l(tfrac52,tfrac12,-1r), AC=(3,-3,6)
Suas normas são
|AB|=raizl(tfrac52r)^2+l(tfrac12r)^2+(-1)^2 =raiztfrac254+tfrac14+1 =raiztfrac304 =tfracraiz302,
|AC|=raiz3^2+(-3)^2+6^2 =raiz9+9+36 =raiz54 =3raiz6

Passo 5

Como o triângulo é retângulo em A, a área é
Área=tfrac12,|AB|;|AC| =tfrac12cdottfracraiz302cdot3raiz6 =tfrac32,raiztfrac30cdot64 =tfrac32,raiz45 =tfrac9raiz52 Á

Resposta

9raiz52

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