Considere o triângulo de vértices A=(1,-3,-1), B=(2,-4,3) e C=(-4,3,0).
Determine o maior ângulo interno do triângulo A B C em graus. Utilize uma calculadora para calcular o ângulo a partir do cosseno.
Tomemos um exemplo: se o cosseno do ângulo é 1 / raiz3, o valor do ângulo é aproximadamente 0,955 rad ou 54,74^circ. Se utizarmos o valor aproximado 1 / raiz3 approx 0,577 obtemos 0,956 rad ou 54,76^circ. Aqui aceitaremos uma tolerância de 0,1 comparado com o valor exato. Então, nesse caso, todos os valores entre 54,6 e 54,8 seriam considerados corretos. Por exemplo, 54,7 ou 54,74 seria correto. Note que os cálculos intermediários devem ser exatos ou ter uma precisão maior.

Passo 1

O enunciado dá os vértices A=(1,-3,-1), B=(2,-4,3) e C=(-4,3,0) de um triângulo em R^3 e pede o maior ângulo interno. Para cada vértice usamos o produto escalar: se u e v são vetores que saem desse vértice, então
costheta = ucdot v| u|| v|,
e theta=arccos(cdot). Calculamos os três ângulos e escolhemos o maior.

Passo 2

Calculamos os vetores dos lados e seus módulos:
AB=B-A=(1,,-1,,4), AC=C-A=(-5,,6,,1), BC=C-B=(-6,,7,,-3)
|AB|=raiz1^2+(-1)^2+4^2=raiz18, |AC|=raiz(-5)^2+6^2+1^2=raiz62, |BC|=raiz(-6)^2+7^2+(-3)^2=raiz94

Passo 3

Agora o cosseno de cada ângulo:
no vértice A entre AB e AC:
ABcdotAC=1cdot(-5)+(-1)cdot6+4cdot1=-7, cos A=-7raiz18,raiz62
no vértice B entre BA=-AB e BC:
(-AB)cdotBC=(-1)(-6)+1cdot7+(-4)(-3)=25, cos B=25raiz18,raiz94
no vértice C entre CA=-AC e CB=-BC:
(-AC)cdot(-BC)=(5)(6)+(-6)(-7)+(-1)(3)=69, cos C=69raiz62,raiz94

Passo 4

Aproximando:
cos Aapprox -0,2096implies Aapproxarccos(-0,2096)approx102,1^circ,
cos Bapprox0,6077implies Bapproxarccos(0,6077)approx52,6^circ,
cos Capprox0,9036implies Capproxarccos(0,9036)approx25,3^circ

Passo 5

Dos três valores, o maior é
Aapprox102,1^circ

Resposta

O maior ângulo interno do triângulo ABC é aproximadamente 102,1^circ.

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