Mostre que a função f(x, y)=cl(x^2+y^2) sen(1x^2+y^2) & se (x, y) neq(0,0) 0 & se (x, y)=(0,0) é diferenciável em (0,0), mas não é de classe C^1.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= (x^2+y^2),sinl(tfrac1x^2+y^2r),& (x,y)neq(0,0), 0,& (x,y)=(0,0),
pede para mostrar que f é diferenciável em (0,0) (isto é, o diferencial existe ali) e ao mesmo tempo não pertence a C^1 (suas derivadas parciais não são contínuas em (0,0)). Vamos usar a definição de diferenciabilidade no ponto e depois examinar a continuidade das derivadas parciais.

Passo 2

Para verificar a diferenciabilidade em (0,0), basta checar que
lim(h,k)to(0,0)f(h,k)-f(0,0)-0cdot h-0cdot kraizh^2+k^2 =lim(h,k)to(0,0)f(h,k)raizh^2+k^2=0
Como para (h,k)neq(0,0) temos l|f(h,k)r|<= h^2+k^2, segue
|f(h,k)raizh^2+k^2|<=h^2+k^2raizh^2+k^2 =raizh^2+k^2 xrightarrow[,(h,k)to(0,0),]0
Logo o limite é zero, provando que f é diferenciável em (0,0) com diferencial nulo.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais em (0,0) pela definição unidimensional, confirmando que de fato são zero:
partial fpartial x(0,0) =limhto0f(h,0)-0h =limhto0h^2,sinl(tfrac1h^2r)h =limhto0h,sinl(tfrac1h^2r)=0,
e de modo análogo partial f/partial y(0,0)=0.

Passo 4

Para ver que fnotin C^1, basta mostrar que partial f/partial x não é contínua em (0,0). Para (x,y)neq(0,0) escrevemos r^2=x^2+y^2 e usamos a regra da cadeia em
f(x,y)=r^2,sinl(tfrac1r^2r)
Define g(u)=usin(1/u). Então f(x,y)=g(r^2) e
g'(u)=sinl(tfrac1ur)-1ucosl(tfrac1ur)
Daí, para (x,y)neq(0,0),
partial fpartial x(x,y) =2x,g'(r^2) =2x,sinl(tfrac1r^2r) -2xr^2,cosl(tfrac1r^2r)
Restrito à reta y=0, tem-se r^2=x^2 e
partial fpartial x(x,0) =2x,sinl(tfrac1x^2r)-2xx^2,cosl(tfrac1x^2r) =2x,sinl(tfrac1x^2r)-2x,cosl(tfrac1x^2r)
O termo -2cos(1/x^2)/x oscila e cresce em módulo quando xto0, logo não tem limite. Isso mostra que partial f/partial x falha ser contínua em (0,0), e portanto f não é de classe C^1.

Resposta

A função f é diferenciável em (0,0) com diferencial nulo, mas suas derivadas parciais não são contínuas em (0,0), logo fnotin C^1.

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