pede para mostrar que f é diferenciável em (0,0) (isto é, o diferencial existe ali) e ao mesmo tempo não pertence a C^1 (suas derivadas parciais não são contínuas em (0,0)). Vamos usar a definição de diferenciabilidade no ponto e depois examinar a continuidade das derivadas parciais.
Passo 2
Para verificar a diferenciabilidade em (0,0), basta checar que
Para ver que fnotin C^1, basta mostrar que partial f/partial x não é contínua em (0,0). Para (x,y)neq(0,0) escrevemos r^2=x^2+y^2 e usamos a regra da cadeia em
O termo -2cos(1/x^2)/x oscila e cresce em módulo quando xto0, logo não tem limite. Isso mostra que partial f/partial x falha ser contínua em (0,0), e portanto f não é de classe C^1.
Resposta
A função f é diferenciável em (0,0) com diferencial nulo, mas suas derivadas parciais não são contínuas em (0,0), logo fnotin C^1.