Em quais valores de x, se houver, a função
f(x)=x^2-16x^2-5 x+4
é descontínua?

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa descobrir em quais valores de $ x $ a função
x
é descontínua. Isso está dentro do conteúdo de funções racionais e discontinuidades. Para resolver isso, vamos precisar entender onde o denominador da função se anula, porque nesses pontos a função pode não estar definida.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o denominador da função: $ x^{2} - 5x + 4 $. A função é descontínua onde o denominador é igual a zero, já que não podemos dividir por zero. Então, vamos resolver a equação:
x^2 - 5x + 4

Passo 3

Para resolver essa equação quadrática, podemos tentar fatorar. Procuramos dois números que multiplicados dão $ +4 $ e somados dão $ -5 $. Esses números são $ -1 $ e $ -4 $. Então, a fatoração fica:
+4

Passo 4

Agora, igualamos cada fator a zero para encontrar os valores de $ x $:
x
x - 1 = 0 Rightarrow x = 1
Então, os pontos potenciais de descontinuidade são $ x = 1 $ e $ x = 4 $.

Passo 5

Mas, para ter certeza de que esses pontos realmente causam descontinuidade, vamos verificar se o numerador também se anula nesses valores. O numerador é $ x^{2} - 16 $. Vamos calcular:
Para $ x = 1 $:
x^2 - 16
Para $ x = 4 $:
x = 1

Passo 6

Viu só? No ponto $ x = 4 $, tanto o numerador quanto o denominador são zero, o que sugere uma descontinuidade removível, já que podemos simplificar a função. Mas no ponto $ x = 1 $, apenas o denominador é zero, o que indica uma assíntota vertical e, portanto, uma descontinuidade.

Passo 7

Portanto, a única descontinuidade permanente (onde a função realmente não está definida) ocorre em $ x = 1 $.

Resposta

A função $ f(x) $ é descontínua em $ x = 1 $.

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