Vamos considerar os eventos A, A_{i}(i=1,2, \ldots, n), B e C, \mathcal{F}-mensuráveis, dado que P\text{(C)} \neq 0, então temos que:
(a) P(A \mid C)=1-P\left(A^{c} \mid C\right);
(b) P(\varnothing \mid C)=0;
(c) Se A \subseteq B, então P(A \mid C) \leq P(B \mid C) e P\left(B \cap A^{c} \mid C\right)=P(B \mid C)-P(A \mid C);
(d) P(A \mid C)=P(A \cap B \mid C)+P\left(A \cap B^{c} \mid C\right);
(e) P(A \cup B \mid C)=P(A \mid C)+P(B \mid C)-P(A \cap B \mid C);
(f) P(A \cup B \mid C) \leq P(A \mid C)+P(B \mid C);
(g) P(A \cap B \mid C) \geq 1-P\left(A^{c} \mid C\right)-P\left(B^{c} \mid C\right);
(h) P\left(\bigcap_{i=1}^{n} A_{i} \mid C\right) \geq 1-\sum_{i=1}^{n} P\left(A_{i}^{c} \mid C\right).

Passo 1

Resumindo, a definição de probabilidade condicional sobre um evento C com P\text{(C)}\neq0 é
P(A\mid C)\;=\;\frac{P(A\cap C)}{P\text{(C)}},
válida para qualquer evento A. A partir dessa fórmula, vamos obter cada uma das propriedades pedidas.

Passo 2

(a) Para o complementar, note que
P(A^c\mid C) =\frac{P(A^c\cap C)}{P\text{(C)}} =\frac{P\text{(C)}-P(A\cap C)}{P\text{(C)}} =1-\frac{P(A\cap C)}{P\text{(C)}} =1-P(A\mid C).
Logo
P(A\mid C)=1-P(A^c\mid C).
(b) Para o vazio,
P(\varnothing\mid C) =\frac{P(\varnothing\cap C)}{P\text{(C)}} =\frac{0}{P\text{(C)}} =0.

Passo 3

(c) Se A\subseteq B então A\cap C\subseteq B\cap C, logo
P(A\cap C)\le P(B\cap C) \quad\Longrightarrow\quad P(A\mid C)\le P(B\mid C).
Além disso, B\cap A^c e A são disjuntos e (B\cap A^c)\cup (A\cap C) = B\cap C, logo
P(B\cap A^c\mid C) =\frac{P((B\cap A^c)\cap C)}{P\text{(C)}} =\frac{P(B\cap C)-P(A\cap C)}{P\text{(C)}} =P(B\mid C)-P(A\mid C).

Passo 4

(d) Escrevendo A=(A\cap B)\cup(A\cap B^c) como união disjunta e intersectando com C, temos
A\cap C =(A\cap B\cap C)\,\cup\,(A\cap B^c\cap C) \quad\text{disjuntas}.
Logo
P(A\mid C) =\frac{P(A\cap C)}{P\text{(C)}} =\frac{P(A\cap B\cap C)+P(A\cap B^c\cap C)}{P\text{(C)}} =P(A\cap B\mid C)+P(A\cap B^c\mid C).

Passo 5

(e) De modo análogo,
(A\cup B)\cap C =(A\cap C)\,\cup\,(B\cap C) \quad\text{com interseção }A\cap B\cap C,çã
então
P(A\cup B\mid C) =\frac{P(A\cap C)+P(B\cap C)-P(A\cap B\cap C)}{P\text{(C)}} =P(A\mid C)+P(B\mid C)-P(A\cap B\mid C).
(f) Da fórmula acima segue imediatamente
P(A\cup B\mid C)\le P(A\mid C)+P(B\mid C).

Passo 6

(g) Observe que
(A\cap B)^c\cap C =(A^c\cap C)\,\cup\,(B^c\cap C).
Pela desigualdade da união (Boole),
P((A\cap B)^c\mid C) \le P(A^c\mid C)+P(B^c\mid C).
Mas P((A\cap B)^c\mid C)=1-P(A\cap B\mid C), logo
1-P(A\cap B\mid C)\le P(A^c\mid C)+P(B^c\mid C) \quad\Longrightarrow\quad P(A\cap B\mid C)\ge 1-P(A^c\mid C)-P(B^c\mid C).

Passo 7

(h) De modo geral,
\Bigl(\bigcap_{i=1}^n A_i\Bigr)^c\cap C =\bigcup_{i=1}^n\bigl(A_i^c\cap C\bigr)
e aplicando Boole,
P\Bigl(\bigcup_{i=1}^n(A_i^c\cap C)\Bigr) \le \sum_{i=1}^n P(A_i^c\mid C).
Como o lado esquerdo é \;P((\cap_i A_i)^c\mid C)=1-P(\cap_i A_i\mid C),
segue
1-P\Bigl(\bigcap_{i=1}^n A_i\mid C\Bigr) \le \sum_{i=1}^n P(A_i^c\mid C) \;\Longrightarrow\; P\Bigl(\bigcap_{i=1}^n A_i\mid C\Bigr) \ge 1-\sum_{i=1}^n P(A_i^c\mid C).

Resposta

Mostramos que todas as igualdades e desigualdades de (a) a (h) decorrem diretamente da definição \displaystyle P(A\mid C)=\tfrac{P(A\cap C)}{P\text{(C)}}
e das propriedades usuais de medida (complemento, monotonicidade, aditividade finita e desigualdade de Boole).

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