Vamos considerar os eventos
e
,
-mensuráveis, dado que
, então temos que:
(a)
;
(b)
;
(c) Se
, então
e
;
(d)
;
(e)
;
(f)
;
(g)
;
(h)
.
(a)
(b)
(c) Se
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
Passo 1
Resumindo, a definição de probabilidade condicional sobre um evento
com
é
válida para qualquer evento
. A partir dessa fórmula, vamos obter cada uma das propriedades pedidas.
Passo 2
(a) Para o complementar, note que
Logo
(b) Para o vazio,
Passo 3
(c) Se
então
, logo
Além disso,
e
são disjuntos e
, logo
Passo 4
(d) Escrevendo
como união disjunta e intersectando com
, temos
Logo
Passo 5
(e) De modo análogo,
então
(f) Da fórmula acima segue imediatamente
Passo 6
(g) Observe que
Pela desigualdade da união (Boole),
Mas
, logo
Passo 7
(h) De modo geral,
e aplicando Boole,
Como o lado esquerdo é
,
segue
segue
Resposta
Mostramos que todas as igualdades e desigualdades de (a) a (h) decorrem diretamente da definição
e das propriedades usuais de medida (complemento, monotonicidade, aditividade finita e desigualdade de Boole).
e das propriedades usuais de medida (complemento, monotonicidade, aditividade finita e desigualdade de Boole).