Demonstre as seguintes propriedades:
Se P\left(A_{n}\right)=1 para n=1,2, \ldots, então P\left(\bigcap_{n=1}^{\infty} A_{n}\right)=1.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se para cada n\ge1 vale
P(A_n)=1,
então também
P\Bigl(\bigcap_{n=1}^{\infty}A_n\Bigr)=1.
O conteúdo envolvido é a propriedade de continuidade do complemento (ou seja, subaditividade de P sobre uniões e a regra de De Morgan).

Passo 2

Para cada n temos
P(A_n)=1 \quad\Longrightarrow\quad P(A_n^c)=1 - P(A_n)=0.

Passo 3

Pelo De Morgan, o complementar da interseção é a união dos complementares:
\Bigl(\bigcap_{n=1}^{\infty}A_n\Bigr)^c = \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n^c.

Passo 4

Usando a subaditividade de P em uniões contáveis,
P\Bigl(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n^c\Bigr) \le \sum_{n=1}^{\infty}P(A_n^c) = \sum_{n=1}^{\infty}0 = 0.

Passo 5

Finalmente, pela relação entre um evento e seu complementar,
P\Bigl(\bigcap_{n=1}^{\infty}A_n\Bigr) =1 - P\Bigl(\bigl(\bigcap_{n=1}^{\infty}A_n\bigr)^c\Bigr) =1 - 0 =1.

Resposta

Portanto, P\bigl(\bigcap_{n=1}^{\infty}A_n\bigr)=1.

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