Demonstre as seguintes propriedades:
Se P\left(A_{n}\right)=0 para n=1,2, \ldots, então P\left(\bigcup_{n=1}^{\infty} A_{n}\right)=0.

Passo 1

O enunciado afirma que temos uma sequência de eventos \{A_n\}_{n=1}^\infty em um espaço de probabilidade, com a propriedade
P(A_n)=0\quad\text{para todo }n=1,2,\dots
e pede para provar que
P\biggl(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n\biggr)=0.
O conteúdo envolvido é a definição de medida de probabilidade e, em particular, a propriedade de subaditividade (ou contável subaditividade).

Passo 2

Lembremos que toda medida de probabilidade P satisfaz duas coisas importantes:
  1. Não-negatividade:
P(E)\ge0\quad\text{para qualquer evento }E.
  1. Subaditividade contável: se \{E_n\} é uma sequência de eventos, então
P\Bigl(\bigcup_{n=1}^{\infty}E_n\Bigr)\le \sum_{n=1}^{\infty}P(E_n).

Passo 3

Aplicando a subaditividade ao nosso caso, com E_n = A_n, obtemos
P\Bigl(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n\Bigr)\le \sum_{n=1}^{\infty}P(A_n).
Mas por hipótese cada P(A_n)=0, logo
\sum_{n=1}^{\infty}P(A_n)=\sum_{n=1}^{\infty}0=0.
Assim
0\le P\Bigl(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n\Bigr)\le 0
e, pela não-negatividade da probabilidade, concluímos que
P\Bigl(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n\Bigr)=0.

Resposta

P(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n)=0.

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