Demonstre as seguintes propriedades:
Se
para
, então
.
Se
Passo 1
O enunciado afirma que temos uma sequência de eventos
em um espaço de probabilidade, com a propriedade
e pede para provar que
O conteúdo envolvido é a definição de medida de probabilidade e, em particular, a propriedade de subaditividade (ou contável subaditividade).
Passo 2
Lembremos que toda medida de probabilidade
satisfaz duas coisas importantes:
- Não-negatividade:
- Subaditividade contável: se
é uma sequência de eventos, então
Passo 3
Aplicando a subaditividade ao nosso caso, com
, obtemos
Mas por hipótese cada
, logo
Assim
e, pela não-negatividade da probabilidade, concluímos que