Vamos considerar um problema muito similar aos dois anteriores, mas agora o sistema A possui 4 spins e o sistema A^prime possui 3 spins, todas as outras características mantendo-se iguais. Quando os sistemas são colocados em contato, a energia total de A * é -4 mu0 B.
(a) Quais são os estados acessíveis do sistema? Determine o momento magnético de cada subsistema A e A^prime, bem como as suas energias.
(b) Calcule a probabilidade de que o momento magnético do sistema A assuma cada um dos valores possíveis de M.
(c) Qual o valor médio barM do momento magnético do sistema A ?
(d) Calcule a probabilidade de que o momento magnético do sistema A^prime assuma cada um dos valores possíveis de M.
(e) Qual o valor médio barM do momento magnético do sistema A^prime ?

Passo 1

Temos dois sistemas isolados em contato, cada spin podendo assumir momentos magnéticos ,miin-mu0,0,+mu0 (spin 1), de modo que a energia de cada spin é
Ei = -mi,B
O sistema A tem NA=4 spins e o sistema A' tem NA'=3 spins. A energia total está fixa em
Erm tot=-4,mu0 B,
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EA+EA'=-4,mu0 B Longrightarrow -mA B - mA'B = -4,mu0 B Longrightarrow mA+mA' = 4,mu0,
onde definimos mA=sumiin Ami e mA'=sumiin A'mi. Vamos:
1. listar os pares (mA,mA') acessíveis;
2. determinar suas energias;
3. calcular multiplicidades e daí as probabilidades e médias.

Passo 2

Resolvendo mA+mA'=4,mu0 sujeitando
mAin-4,-3,dots,+3,+4,mu0, mA'in-3,dots,+3,mu0,
os únicos pares inteiros possíveis são
(mA,mA') = (1,mu0,;3,mu0),; (2,mu0,;2,mu0),; (3,mu0,;1,mu0),; (4,mu0,;0)
As energias correspondentes são
EA(mA) = -mA,B, EA'(mA') = -mA',B

Passo 3

Para cada macroestado calculamos a multiplicidade
Omega(N,m) =sumsubstackn+,n-,n0 >= 0 n+ + n- + n0 = N n+ - n- = m / mu0 N!n+!,n-!,n0!,
Fazendo N=4 para A e N=3 para A', obtemos:
Sistema A:
mA=4,mu0 &longrightarrow OmegaA=1, mA=3,mu0 &longrightarrow OmegaA=4, mA=2,mu0 &longrightarrow OmegaA=10, mA=1,mu0 &longrightarrow OmegaA=16
Sistema A':
mA'=0 &longrightarrow OmegaA'=1, mA'=1,mu0 &longrightarrow OmegaA'=6, mA'=2,mu0 &longrightarrow OmegaA'=3, mA'=3,mu0 &longrightarrow OmegaA'=1

Passo 4

(b) A probabilidade de A ter momento mA é
P(mA) =OmegaA(mA),OmegaA'(4mu0 - mA)% summA'OmegaA(mA'),OmegaA'(4mu0 - mA'),
O denominador vale
1cdot1+4cdot6+10cdot3+16cdot1 = 1 +24+30+16 =71
Logo, enumerando mA=1,2,3,4 em unidades de mu0:
P(1mu0)&=16cdot171=1671, P(2mu0)&=10cdot371=3071, P(3mu0)&=4cdot671 =2471, P(4mu0)&=1cdot171 =171

Passo 5

(c) O valor médio é
bar mA =summA mA,P(mA) =1cdot16 +2cdot30+3cdot24+4cdot171,mu0 =15271,mu0approx2,14,mu0

Passo 6

(d) Análogo para A':
P(mA') =OmegaA(4mu0 - mA'),OmegaA'(mA')71,
dando, em unidades de mu0:
P(0) &=1cdot171=171, P(1) &=4cdot671=2471, P(2) &=10cdot371=3071, P(3) &=16cdot171=1671

Passo 7

(e) O valor médio de mA' é
bar mA' =summA'mA',P(mA') =0cdot1 +1cdot24 +2cdot30 +3cdot1671,mu0 =13271,mu0approx1,86,mu0

Resposta

(a) Os macroestados são (mA,mA')=(1,3),(2,2),(3,1),(4,0) em unidades de mu0, com energias EA=-mA B, EA'=-mA'B.
(b)
PA(1mu0)=16/71,;PA(2mu0)=30/71,;PA(3mu0)=24/71,;PA(4mu0)=1/71
(c) bar mA=152/71,mu0approx2,14,mu0
(d)
PA'(0)=1/71,;PA'(1)=24/71,;PA'(2)=30/71,;PA'(3)=16/71
(e) bar mA'=132/71,mu0approx1,86,mu0

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