Considere um sistema
composto por um spin
com momento magnético
, e outro sistema
composto por 3 spins
, cada um com momento magnético
. Ambos os sistemas estão localizados no mesmo campo magnético
. Os sistemas são colocados em contato entre si, permitindo que troquem energia livremente.
Suponha que:
- Quando o momento de
aponta para cima (estado +), dois dos momentos de
apontam para cima e um aponta para baixo.
- Quando o momento de
aponta para baixo (estado -), os momentos de
podem assumir outras configurações.
Pergunta:
(a) Calcule o número total de estados acessíveis ao sistema combinado
quando:
- O momento de
aponta para cima
- O momento de
aponta para baixo
(b) Com base nesses resultados, calcule a razão
, onde:
-
é a probabilidade do momento de
apontar para baixo
-
é a probabilidade do momento de
apontar para cima
(c) Considere que o sistema total
está isolado.
Suponha que:
(b) Com base nesses resultados, calcule a razão
(c) Considere que o sistema total
Passo 1
O enunciado descreve dois subsistemas em contato térmico mas isolados em energia total:
– é um spin
com momento magnético
em campo
.
– são três spins independentes
, cada um com momento
em mesmo campo
.
O total é isolado, logo podemos usar a microcanonial: todas as microestados com mesma energia total
são equiprováveis, e a probabilidade de um macroestado é proporcional à sua multiplicidade
.
–
–
O total
Passo 2
Definimos o zero de energia arbitrariamente, mas fixamos que cada spin em estado “up” alinhado com
tem energia
e em “down” (antialinhado)
Seja
a energia total fixa do sistema. Vamos achar para cada valor de
qual configuração de
dá
.
Passo 3
Caso
em “up”:
Para satisfazer
e coincidir com o enunciado (que diz que então em
há 2 up e 1 down), escolhemos
Logo em
devem ser exatamente 2 spins up e 1 down. A multiplicidade desse macroestado é o número de maneiras de escolher quais 2 dos 3 são up:
Passo 4
Caso
em “down”:
e ainda queremos
. Logo
o que só ocorre se os 3 spins de
estiverem up:
A multiplicidade desse macroestado é
Passo 5
Na microcanônica,
Portanto
Passo 6
Como o sistema total
está isolado em energia, usamos a microcannonical: todos os microestados de mesma energia têm igual probabilidade. A razão de probabilidades de
em “down” versus “up” vem então diretamente da razão de suas multiplicidades.
Resposta
(a)
,
(b)
(c) O sistema total é isolado, logo aplicamos a distribuição microcanônica, onde cada microestado de mesma energia total é equiprovável.
(b)
(c) O sistema total é isolado, logo aplicamos a distribuição microcanônica, onde cada microestado de mesma energia total é equiprovável.