Considere um sistema A composto por um spin 12 com momento magnético mu0, e outro sistema A^prime composto por 3 spins 12, cada um com momento magnético mu0. Ambos os sistemas estão localizados no mesmo campo magnético B. Os sistemas são colocados em contato entre si, permitindo que troquem energia livremente.
Suponha que:
  • Quando o momento de A aponta para cima (estado +), dois dos momentos de A^prime apontam para cima e um aponta para baixo.
  • Quando o momento de A aponta para baixo (estado -), os momentos de A^prime podem assumir outras configurações.

Pergunta:

(a) Calcule o número total de estados acessíveis ao sistema combinado A+A^prime quando:
  • O momento de A aponta para cima
  • O momento de A aponta para baixo
    (b) Com base nesses resultados, calcule a razão P-P+, onde:
  • P-é a probabilidade do momento de A apontar para baixo
  • P+é a probabilidade do momento de A apontar para cima
    (c) Considere que o sistema total A+A^prime está isolado.

Passo 1

O enunciado descreve dois subsistemas em contato térmico mas isolados em energia total:
A é um spin tfrac12 com momento magnético mu0 em campo B.
A' são três spins independentes tfrac12, cada um com momento mu0 em mesmo campo B.
O total A+A' é isolado, logo podemos usar a microcanonial: todas as microestados com mesma energia total E são equiprováveis, e a probabilidade de um macroestado é proporcional à sua multiplicidade Omega.

Passo 2

Definimos o zero de energia arbitrariamente, mas fixamos que cada spin em estado “up” alinhado com B tem energia
Euparrow=-mu0B,
e em “down” (antialinhado)
Edownarrow=+mu0B
Seja E a energia total fixa do sistema. Vamos achar para cada valor de A qual configuração de A' EA+EA'=E.

Passo 3

Caso A em “up”:
EA=Euparrow=-mu0B
Para satisfazer EA+EA'=E e coincidir com o enunciado (que diz que então em A' há 2 up e 1 down), escolhemos
E=Euparrow+Euparrow + Euparrow + Edownarrow =-mu0B +l(2(-mu0B)+(+mu0B)r)=-2mu0B
Logo em A' devem ser exatamente 2 spins up e 1 down. A multiplicidade desse macroestado é o número de maneiras de escolher quais 2 dos 3 são up:
Omega+ = binom32=3

Passo 4

Caso A em “down”:
EA=Edownarrow=+mu0B,
e ainda queremos Etotal=-2mu0B. Logo
EA'=Etotal-EA=-2mu0B - (+mu0B)=-3mu0B,
o que só ocorre se os 3 spins de A' estiverem up:
3times(-mu0B)=-3mu0B
A multiplicidade desse macroestado é
Omega- = binom33=1

Passo 5

Na microcanônica,
P+propto Omega+=3, P-propto Omega-=1
Portanto
P-P+ =Omega-Omega+ =13

Passo 6

Como o sistema total A+A' está isolado em energia, usamos a microcannonical: todos os microestados de mesma energia têm igual probabilidade. A razão de probabilidades de A em “down” versus “up” vem então diretamente da razão de suas multiplicidades.

Resposta

(a) Omega+=3, Omega-=1
(b) P-P+=13
(c) O sistema total é isolado, logo aplicamos a distribuição microcanônica, onde cada microestado de mesma energia total é equiprovável.

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