Vamos denotar por
a coleção de todas as funções reais de uma variável real que possuem o conjunto
como domínio. Se
e
pertencem a
e
é um escalar real, definimos
,
e, assim, podemos verificar que
é um espaço vetorial. Considerando o caso especial em que
, quais dos conjuntos abaixo são subespaços de
?
Todas as funções pares.
Todas as funções pares.
Passo 1
O enunciado considera o espaço vetorial
das funções reais de variável real com
e quer saber se o conjunto
das funções pares é um subespaço. Para isso vamos usar o critério de subespaço: verificar se (1) a função zero pertence a
, (2)
é fechado sob soma e (3)
é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificamos que a função zero
satisfaz
para todo
. Logo
, ou seja,
não é vazio e contém o vetor zero.
Passo 3
Sejam
. Então
Logo, para a soma,
Isso mostra que
, ou seja,
é fechado sob soma.
Passo 4
Seja
e
. Como
, temos
Logo
, ou seja,
é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
O conjunto de todas as funções pares é um subespaço de
.