Vamos denotar por \mathcal{F}(\Omega) a coleção de todas as funções reais de uma variável real que possuem o conjunto \Omega como domínio. Se f e g pertencem a \mathcal{F}(\Omega) e \lambda é um escalar real, definimos (f+g)(x)=f(x)+g(x), (\lambda f)(x)=\lambda f(x) e, assim, podemos verificar que \mathcal{F}(\Omega) é um espaço vetorial. Considerando o caso especial em que \Omega=(-\infty, \infty), quais dos conjuntos abaixo são subespaços de \mathcal{F}(\Omega) ?
Todas as funções pares.

Passo 1

O enunciado considera o espaço vetorial \mathcal{F}(\Omega) das funções reais de variável real com \Omega=(-\infty,\infty) e quer saber se o conjunto
E = \{\,f\in\mathcal{F}(\Omega)\mid f(x)=f(-x)\text{ para todo }x\in\mathbb{R}\}
das funções pares é um subespaço. Para isso vamos usar o critério de subespaço: verificar se (1) a função zero pertence a E, (2) E é fechado sob soma e (3) E é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos que a função zero f_0(x)=0 satisfaz f_0(x)=0=f_0(-x) para todo x. Logo f_0\in E, ou seja, E não é vazio e contém o vetor zero.

Passo 3

Sejam f,g\in E. Então
f(x)=f(-x) \quad\text{e}\quad g(x)=g(-x) \quad\forall x.
Logo, para a soma,
(f+g)(x)=f(x)+g(x) =f(-x)+g(-x) =(f+g)(-x).
Isso mostra que f+g\in E, ou seja, E é fechado sob soma.

Passo 4

Seja f\in E e \lambda\in\mathbb{R}. Como f(x)=f(-x), temos
(\lambda f)(x)=\lambda\,f(x) =\lambda\,f(-x) =(\lambda f)(-x).
Logo \lambda f\in E, ou seja, E é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

O conjunto de todas as funções pares é um subespaço de \mathcal{F}(\Omega).

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