Vamos denotar por \mathcal{F}(\Omega) a coleção de todas as funções reais de uma variável real que possuem o conjunto \Omega como domínio. Se f e g pertencem a \mathcal{F}(\Omega) e \lambda é um escalar real, definimos (f+g)(x)=f(x)+g(x), (\lambda f)(x)=\lambda f(x) e, assim, podemos verificar que \mathcal{F}(\Omega) é um espaço vetorial. Considerando o caso especial em que \Omega=(-\infty, \infty), quais dos conjuntos abaixo são subespaços de \mathcal{F}(\Omega) ?
Todas as funções ímpares.

Passo 1

O enunciado define \mathcal{F}(\Omega) como o espaço vetorial de todas as funções reais de variável real com domínio \Omega. Aqui vamos tomar \Omega = (-\infty,\infty). Queremos verificar se o conjunto
W = \{\,f \in \mathcal{F}((-\infty,\infty)) \mid f(-x) = -f(x)\text{ para todo }x\in\mathbb{R}\}
— ou seja, todas as funções ímpares — é um subespaço de \mathcal{F}((-\infty,\infty)). Para isso precisamos checar três propriedades:
  1. W contém a função zero.
  2. W é fechado sob soma.
  3. W é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos se a função zero \,0\colon x\mapsto 0 está em W. Para todo x,
0(-x) = 0 = -0 = -0(x),
logo 0\in W.

Passo 3

Mostramos que W é fechado sob soma. Sejam f,g\in W. Então para todo x,
(f+g)(-x) = f(-x)+g(-x) = -f(x) + (-g(x)) = -(f(x)+g(x)) = -(f+g)(x).
Logo f+g satisfaz a condição de imparidade e pertence a W.

Passo 4

Mostramos que W é fechado sob multiplicação por escalar. Seja f\in W e \lambda\in\mathbb{R}. Então para todo x,
(\lambda f)(-x) = \lambda\,f(-x) = \lambda\,(-f(x)) = -\bigl(\lambda f(x)\bigr) = -(\lambda f)(x).
Logo \lambda f é ímpar e pertence a W.

Resposta

O conjunto de todas as funções ímpares é um subespaço de \mathcal{F}((-\infty,\infty)).

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