Vamos denotar por
a coleção de todas as funções reais de uma variável real que possuem o conjunto
como domínio. Se
e
pertencem a
e
é um escalar real, definimos
,
e, assim, podemos verificar que
é um espaço vetorial. Considerando o caso especial em que
, quais dos conjuntos abaixo são subespaços de
?
Todas as funções ímpares.
Todas as funções ímpares.
Passo 1
O enunciado define
como o espaço vetorial de todas as funções reais de variável real com domínio
. Aqui vamos tomar
. Queremos verificar se o conjunto
— ou seja, todas as funções ímpares — é um subespaço de
. Para isso precisamos checar três propriedades:
-
contém a função zero. -
é fechado sob soma. -
é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificamos se a função zero
está em
. Para todo
,
logo
.
Passo 3
Mostramos que
é fechado sob soma. Sejam
. Então para todo
,
Logo
satisfaz a condição de imparidade e pertence a
.
Passo 4
Mostramos que
é fechado sob multiplicação por escalar. Seja
e
. Então para todo
,
Logo
é ímpar e pertence a
.
Resposta
O conjunto de todas as funções ímpares é um subespaço de
.