Vamos provar que a derivada da função
g(x)=integral0^x^2 arctg(t) d t
é igual a g^prime(x)=arctg(x^2) 2 x, usando o seguinte raciocínio:
(a) Lembre-se que, se F(x)=integral0^x f(t) d t, então pelo Teorema Fundamental do Cálculo temos F^prime(x)=f(x).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função g(x) = integral0^x^2 arctan(t) , dt e precisamos encontrar a sua derivada, ou seja, g'(x) . A matéria que vamos usar aqui é o Cálculo Diferencial, mais especificamente o Teorema Fundamental do Cálculo e a Regra da Cadeia. Vamos precisar lembrar que se a gente tem uma função definida como uma integral, a derivada dela pode ser encontrada de forma direta usando o teorema. Além disso, como o limite superior da integral é uma função de x , vamos precisar aplicar a regra da cadeia para derivar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do que o enunciado disse: se F(x) = integral0^x f(t) , dt , então a derivada de F em relação a x é simplesmente F'(x) = f(x) . Isso é parte do Teorema Fundamental do Cálculo. Ou seja, se a gente tem uma integral com o limite superior sendo x , a derivada é a própria função que está sendo integrada, avaliada em x .

Passo 3

Agora, observemos a nossa função g(x) = integral0^x^2 arctan(t) , dt . A diferença aqui é que o limite superior não é apenas x , mas sim x^2 . Então, para encontrar a derivada de g(x) , precisamos levar isso em conta usando a Regra da Cadeia.

Passo 4

Vamos aplicar a Regra da Cadeia. Se u(x) = x^2 , então g(x) = integral0^u(x) arctan(t) , dt . De acordo com o teorema, a derivada de g em relação a u seria g'(u) = arctan(u) . Mas como u é uma função de x , precisamos multiplicar pela derivada de u em relação a x , ou seja, u'(x) .

Passo 5

Calculando u'(x) :
u'(x) = ddx (x^2) = 2x

Passo 6

Agora, aplicando a Regra da Cadeia:
g'(x) = ddx ( integral0^x^2 arctan(t) , dt ) = arctan(x^2) cdot 2x

Passo 7

Pronto! Seguimos os passos e aplicamos as regras necessárias para encontrar a derivada.

Resposta

A derivada de g(x) é:
g'(x) = arctan(x^2) cdot 2x

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