Vamos provar que a derivada da função
é igual a
, usando o seguinte raciocínio:
(a) Lembre-se que, se
, então pelo Teorema Fundamental do Cálculo temos
.
(a) Lembre-se que, se
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
e precisamos encontrar a sua derivada, ou seja,
. A matéria que vamos usar aqui é o Cálculo Diferencial, mais especificamente o Teorema Fundamental do Cálculo e a Regra da Cadeia. Vamos precisar lembrar que se a gente tem uma função definida como uma integral, a derivada dela pode ser encontrada de forma direta usando o teorema. Além disso, como o limite superior da integral é uma função de
, vamos precisar aplicar a regra da cadeia para derivar.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar do que o enunciado disse: se
, então a derivada de
em relação a
é simplesmente
. Isso é parte do Teorema Fundamental do Cálculo. Ou seja, se a gente tem uma integral com o limite superior sendo
, a derivada é a própria função que está sendo integrada, avaliada em
.
Passo 3
Agora, observemos a nossa função
. A diferença aqui é que o limite superior não é apenas
, mas sim
. Então, para encontrar a derivada de
, precisamos levar isso em conta usando a Regra da Cadeia.
Passo 4
Vamos aplicar a Regra da Cadeia. Se
, então
. De acordo com o teorema, a derivada de
em relação a
seria
. Mas como
é uma função de
, precisamos multiplicar pela derivada de
em relação a
, ou seja,
.
Passo 5
Calculando
:
Passo 6
Agora, aplicando a Regra da Cadeia:
Passo 7
Pronto! Seguimos os passos e aplicamos as regras necessárias para encontrar a derivada.
Resposta
A derivada de
é: