Ache a solução geral da equação diferencial
4 y^prime prime+25 y=0

Passo 1

Resumindo o enunciado: a gente quer resolver a equação diferencial homogênea de 2ª ordem com coeficientes constantes
4y'' + 25y = 0
Vamos usar o método do polinômio característico.

Passo 2

Assumindo uma solução do tipo y = e^r x, temos
y' = r e^r x, y'' = r^2 e^r x
Substituindo em 4y'' + 25y = 0
4r^2 e^r x + 25 e^r x = 0
e, como e^r xneq 0, o característico é
4r^2 + 25 = 0

Passo 3

Resolvendo o polinômio característico 4r^2 + 25 = 0, encontramos
r^2 = -254 Longrightarrow r = pm 52i
São raízes puramente imaginárias.

Passo 4

Para raízes complexas conjugadas alpha pm ibeta com alpha=0 e beta=tfrac52, a solução geral é dada por
y(x)=C1cosl(tfrac52xr)+C2sinl(tfrac52xr)

Resposta

y(x)=C1cosl(52xr)+C2sinl(52xr)

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