Vapor d’ água entra em um bocal, operando em regime permanente a 500^{\circ} \mathrm{C} e 50 bar, com uma velocidade de 100 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e sai a 300^{\circ} \mathrm{C} e 10 bar. Determine a velocidade de saída para o bocal adiabático.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Temperatura na entrada: T_1=500^\circ\mathrm{C}.
    • Pressão na entrada: p_1=50\\ \mathrm{bar}.
    • Velocidade na entrada: v_1=100\\ \mathrm{m/s}.
    • Temperatura na saída: T_2=300^\circ\mathrm{C}.
    • Pressão na saída: p_2=10\\ \mathrm{bar}.
    • Bocal adiabático e em regime permanente (estado estacionário).
  • O que o enunciado pede:
    • Determinar a velocidade de saída v_2 do vapor d’água.

Passo 2

Qual equação usar — e por quê.
  • Em regime permanente, para uma corrente única e sem trabalho de eixo, sem troca de calor (adiabático) e desprezando variação de energia potencial, a conservação de energia por unidade de massa reduz-se à forma conhecida para bocais:
h_1 + \frac{v_1^2}{2} = h_2 + \frac{v_2^2}{2},
onde:
  • h é a entalpia específica do fluido (unidade: \mathrm{J/kg}),
  • v é a velocidade (unidade: \mathrm{m/s}).
  • Essa equação diz: entalpia + energia cinética por unidade de massa na entrada = entalpia + energia cinética por unidade de massa na saída.
  • Rearranjando para v_2:
v_2 = \sqrt{v_1^2 + 2\,(h_1-h_2)}.
  • Explicação didática sobre entalpia: para um gás ideal ou vapor superaquecido, a variação de entalpia entre dois estados pode ser obtida das tabelas de vapor (melhor) ou aproximada por \,h_1-h_2\approx c_p\,(T_1-T_2), onde c_p é capacidade calorífica a pressão constante (unidade: \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}). Na prática, para vapor d’água em estado superaquecido usa-se tabela/diagrama porque h depende de T e p de modo não trivial.

Passo 3

Obter os valores de entalpia (como fazer na prova e valores que vou usar).
  • Na prova idealmente consulta-se as tabelas de vapor saturado e superaquecido (tabelas steam tables) para os estados especificados. Aqui adotarei valores aproximados retirados de tabelas de vapor (valores típicos arredondados para facilitar cálculos manuais):
    • Valor tomado das tabelas para T_1=500^\circ\mathrm{C} e p_1=50\\ \mathrm{bar}: h_1 \approx 3440\\ \mathrm{kJ/kg}.
    • Valor tomado das tabelas para T_2=300^\circ\mathrm{C} e p_2=10\\ \mathrm{bar}: h_2 \approx 3050\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • Observação: escrevo explicitamente que peguei estes números de tabelas de vapor (são valores aproximados, suficiente para um cálculo de engenharia sem calculadora).
  • Converter para \mathrm{J/kg} para usar no SI:
h_1 = 3440\\ \mathrm{kJ/kg} = 3{,}440\times10^{6}\\ \mathrm{J/kg}, \qquad h_2 = 3050\\ \mathrm{kJ/kg} = 3{,}050\times10^{6}\\ \mathrm{J/kg}.
  • Calcular a diferença de entalpia:
h_1-h_2 = (3{,}440-3{,}050)\times10^{6}\\ \mathrm{J/kg} = 390\times10^{3}\\ \mathrm{J/kg}.

Passo 4

Calcular v_2 usando a equação de energia.
  • Substituindo em
v_2 = \sqrt{v_1^2 + 2\,(h_1-h_2)},
com v_1=100\\ \mathrm{m/s} e h_1-h_2=390\times10^{3}\\ \mathrm{J/kg}:
v_2 = \sqrt{(100)^2 + 2\cdot 390\times10^{3}} \\ \mathrm{m/s}.
  • Fazer as contas passo a passo:
v_1^2 = 100^2 = 10{,}000\\ \mathrm{(m^2/s^2)},
2\,(h_1-h_2) = 2\cdot 390{,}000 = 780{,}000\\ \mathrm{(m^2/s^2)}.
v_2 = \sqrt{10{,}000 + 780{,}000} = \sqrt{790{,}000}.
  • Aproximando a raiz quadrada manualmente:
\sqrt{790{,}000} = \sqrt{79\times10^{4}} = 100\sqrt{79}\approx 100\times 8{,}888\ldots \approx 888{,}8\\ \mathrm{m/s}.
  • Arredondando de forma razoável: v_2 \approx 890\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Verificação por aproximação alternativa (se não tiver tabelas na prova) e comentários sobre precisão.
  • Método alternativo rápido usando c_p médio: para vapor superaquecido um c_p médio típico é \approx 2{,}0\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}. Então
h_1-h_2 \approx c_p (T_1-T_2)=2{,}0\cdot(500-300)=400\\ \mathrm{kJ/kg}=400{,}000\\ \mathrm{J/kg}.
v_2 \approx \sqrt{100^2 + 2\cdot 400{,}000} = \sqrt{810{,}000}\approx 900\\ \mathrm{m/s}.
  • Comparação: usando tabelas obtivemos \approx 890\\ \mathrm{m/s}, usando c_p obtivemos \approx 900\\ \mathrm{m/s}. A diferença é pequena (ordem de 1\%\!-\!2\%) — mostra que a aproximação com c_p é útil quando não há tabelas, mas o resultado mais correto vem das tabelas porque h depende de p também.
  • Observações finais sobre hipóteses: resultado assume escoamento adiabático, sem trocas de calor nem trabalho, sem variação de energia potencial, e que as entalpias usadas são corretas. Se alguma hipótese não valer, deveria incluir termos adicionais na equação de energia.

Resposta

v_2 \approx 8{,}90\times10^{2}\\ \mathrm{m/s} (aproximadamente 890\\ \mathrm{m/s}).

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