O vapor de água em um sistema de aquecimento flui através de tubos cujo diâmetro externo é de 5 cm e cujas paredes são mantidas a uma temperatura de 130^{\circ} \mathrm{C}. Aletas circulares de liga de alumínio 2024-T6 ( \mathrm{k}=186 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{K} ) de diâmetro externo de 6 cm e de espessura constante de 1 mm são fixadas ao tubo. O espaço entre as aletas é 3 mm O calor é transferido para o ar circundante a \mathrm{T}_{\infty}=25^{\circ} \mathrm{C}, com coeficiente de transferência de calor de 40 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} . \mathrm{K}. Determine:
a. ( \mathbf{0 , 5} Ponto) Para esta situação, o que seria uma aleta ideal?
b. ( \mathbf{1 , 0} Ponto) Quais são a eficiência e a efetividade das aletas?
c. ( \mathbf{0 , 5} Ponto) Qual o número de aletas por metro de comprimento de tubo?
d. (1,0 Ponto) O aumento da transferência de calor a partir do tubo por metro de seu comprimento, como resultado da adição das aletas.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (peguei todos estes valores do enunciado):
  • Diâmetro externo do tubo: d_o=5{,}0\\ \text{cm}=0{,}05\\ \text{m}.
  • Aletas circulares (liga Al 2024-T6) com: condutividade térmica k=186\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}, diâmetro externo das aletas D_f=6{,}0\\ \text{cm}=0{,}06\\ \text{m} e espessura constante t=1{,}0\\ \text{mm}=0{,}001\\ \text{m}.
  • Espaçamento entre aletas (folga axial): s=3{,}0\\ \text{mm}=0{,}003\\ \text{m}.
  • Temperatura das paredes (base das aletas): T_b=130^\circ\mathrm{C}.
  • Ar ambiente: T_\infty=25^\circ\mathrm{C}.
  • Coeficiente de convecção para o ar: h=40\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
O enunciado pede, por item:
a) O que seria uma aleta ideal para esta situação.
b) Calcular a eficiência e a efetividade das aletas.
c) Quantas aletas por metro de comprimento do tubo.
d) O aumento da transferência de calor por metro de comprimento do tubo devido às aletas.

Passo 2

Escolha do modelo e aproximações (explicando didaticamente e justificando).
  • Cada aleta é uma placa circular (disco anelar) fixada radialmente ao redor do tubo. A espessura t é pequena (1 mm) e a extensão radial da aleta é pequena ( L=(D_f-d_o)/2). Para simplificar a análise de condução na aleta usamos a aproximação clássica: “aleta plana reta” (retificamos a geometria anelar para um problema unidimensional em x com comprimento L), mas mantendo o tratamento de convecção nas duas faces da placa. Essa aproximação é habitual quando a aleta é estreita em extensão radial e quando queremos uma fórmula simples e prática que dê bom resultado.
  • O comprimento efetivo da aleta (extensão radial) é
L=\frac{D_f-d_o}{2}=\frac{0{,}06-0{,}05}{2}=0{,}005\\ \text{m}.
  • Por que isto é aceitável? Porque a aleta é relativamente curta ( 5\\ \text{mm}) e a curvatura ao redor do tubo altera pouco o campo térmico local; e isso nos permite usar fórmulas padrão de aleta plana com convecção em ambas as faces. Vou usar a solução clássica para aleta plana (faces superior e inferior com convecção), com a aproximação de ponta adiabática (vou justificar que a ponta pode ser tratada assim, pois mL será pequeno).

Passo 3

Equações fundamentais e definição de parâmetros (aula curta sobre o que vamos usar).
  • Para uma aleta de espessura t com convecção nas duas faces a constante de decaimento da temperatura na aleta é
m=\sqrt{\frac{2h}{k\,t}}.
Explicação: aquele fator 2 aparece porque há perda por convecção nas duas faces da placa (superior e inferior), logo a “perda por unidade de comprimento” é proporcional a 2h quando consideramos a espessura t formando a área de seção para condução.
  • Para uma aleta retilínea de comprimento L com extremidade praticamente sem área lateral importante (ponta pequena) costuma-se usar a fórmula aproximada da eficiência da aleta (caso adiabático na ponta):
\eta_f=\frac{\operatorname{tanh}(mL)}{mL}.
Comentário didático: \eta_f é a eficiência da aleta = razão entre o calor realmente transferido pela aleta e o calor que seria transferido se toda a aleta estivesse à temperatura da base T_b. A expressão acima vem da solução da equação diferencial linear de condução com termos de convecção (mostra decaimento exponencial da supertemperatura ao longo da aleta). Quando mL é pequeno, \operatorname{tanh}(mL)\approx mL e \eta_f\approx 1 (a aleta é quase isoterma — pouca queda de temperatura ao longo da aleta). Quando mL é grande, a eficiência cai.
  • A efetividade (effectiveness) da adição das aletas em relação ao tubo nu costuma-se calcular por:
\varepsilon=\frac{Q_{\text{com aletas}}}{Q_{\text{tubo nu}}} = \frac{Q_{\text{exposto do tubo}} + N_f\,\eta_f\,Q_{\text{aleta ideal por unidade}}}{Q_{\text{tubo nu}}},
mas há uma forma prática: por metro de tubo, se N_f é o número de aletas por metro, A_f a área total de convecção de uma aleta (faces + borda), e A_{\text{cyl}} a área lateral do tubo por metro sem aletas, então
\varepsilon = \frac{A_{\text{exposto}}}{A_{\text{cyl}}} + \frac{N_f\,\eta_f\,A_f}{A_{\text{cyl}}},
onde A_{\text{exposto}} é a área do tubo por metro que permanece exposta ao ar (entre as aletas). Isso corresponde a somar o calor do tubo exposto (simples convecção) mais o calor efetivo fornecido pelas aletas (cada aleta efetiva dá h\,\eta_f\,A_f\,(T_b-T_\infty)), e dividir pelo calor do tubo nu h\,A_{\text{cyl}}\,(T_b-T_\infty). Essa fórmula é prática e convencional.

Passo 4

Cálculos numéricos — constante m e eficiência da aleta.
  • Calcule m:
m=\sqrt{\frac{2h}{k\,t}}=\sqrt{\frac{2\cdot 40}{186\cdot 0{,}001}} =\sqrt{\frac{80}{0{,}186}}=\sqrt{430{,}1075269}=20{,}744\\ \mathrm{m^{-1}}.
  • Calcule mL:
mL=20{,}744\times 0{,}005=0{,}10372\\ (\text{adimensional}).
Observação didática: mL é pequeno (≈0,104), portanto a aleta é curta em relação à capacidade de condução — isso implica eficiência próxima de 1 e também justifica a aproximação de ponta adiabática.
  • Calcule \eta_f usando \eta_f=\dfrac{\operatorname{tanh}(mL)}{mL}. Para mL\ll1 pode-se usar séries, mas aqui calculamos numericamente:
\operatorname{tanh}(0{,}10372)\approx 0{,}103345, \qquad \eta_f=\frac{0{,}103345}{0{,}10372}\approx 0{,}9964.
Conclusão: a eficiência da aleta é \eta_f\approx 0{,}996 (muito próxima de 1).

Passo 5

Área de cada aleta e número de aletas por metro.
  • Raízes (raízes radiais): raio do tubo r_1=d_o/2=0{,}025\\ \text{m}. raio externo da aleta r_2=D_f/2=0{,}03\\ \text{m}.
  • Área de cada face (uma face) da aleta (anel) é
A_{\text{face}}=\pi(r_2^2-r_1^2)=\pi(0{,}03^2-0{,}025^2)=\pi(0{,}0009-0{,}000625)=\pi(0{,}000275)=0{,}00086394\\ \mathrm{m^2}.
  • A aleta tem duas faces (superior e inferior), então área das faces:
2A_{\text{face}}=2\times 0{,}00086394=0{,}00172788\\ \mathrm{m^2}.
  • Área da borda externa (circunferência externa × espessura):
A_{\text{borda}}=2\pi r_2\,t=2\pi(0{,}03)(0{,}001)=0{,}00018850\\ \mathrm{m^2}.
  • Área total de convecção de uma aleta:
A_f=2A_{\text{face}}+A_{\text{borda}}=0{,}00172788+0{,}00018850=0{,}00191637\\ \mathrm{m^2}.
  • Número de aletas por metro (o passo axial é p=s+t=0{,}003+0{,}001=0{,}004\\ \mathrm{m}):
N_f=\frac{1}{p}=\frac{1}{0{,}004}=250\\ \text{aletas por metro}.
(Resposta do item c já obtida aqui.)

Passo 6

Cálculo da efetividade \varepsilon.
  • Área lateral do tubo por metro (tubo nu):
A_{\text{cyl}}=\pi d_o\cdot 1=\pi(0{,}05)=0{,}15707963\\ \mathrm{m^2}.
  • Área do tubo efetivamente exposta entre aletas por metro: em cada passo p há uma folga s exposta; a fração exposta axialmente é s/p=0{,}003/0{,}004=0{,}75. Logo
A_{\text{exposto}}=A_{\text{cyl}}\times\frac{s}{p}=A_{\text{cyl}}\times 0{,}75=0{,}15707963\times 0{,}75=0{,}11780972\\ \mathrm{m^2}.
  • Contribuição das aletas, por metro:
\frac{N_f\,\eta_f\,A_f}{A_{\text{cyl}}} =\frac{250\times 0{,}9964 \times 0{,}00191637}{0{,}15707963} \approx 3{,}0415.
  • Assim a efetividade total é
\varepsilon=\frac{A_{\text{exposto}}}{A_{\text{cyl}}}+\frac{N_f\,\eta_f\,A_f}{A_{\text{cyl}}} =0{,}75+3{,}0415\approx 3{,}7915.
Arredondando: \varepsilon\approx 3{,}79. Comentário: significa que, com as aletas, a perda de calor por metro é cerca de 3{,}79 vezes a perda que teria o tubo nu.

Passo 7

Cálculo do aumento absoluto da transferência de calor por metro (item d).
  • Primeiro a transferência de calor por metro do tubo nu (sem aletas) é
Q_{\text{nu}}=h\,A_{\text{cyl}}\,(T_b-T_\infty).
Com \Delta T=T_b-T_\infty=130-25=105\\ \mathrm{K},
Q_{\text{nu}}=40\times 0{,}15707963\times 105 =659{,}734\\ \mathrm{W/m}\\ (\text{aprox.}).
  • Transferência com aletas:
Q_{\text{com}}=\varepsilon\,Q_{\text{nu}}=3{,}7915\times 659{,}734\approx 2501{,}56\\ \mathrm{W/m}.
  • Aumento absoluto por metro devido às aletas:
\Delta Q = Q_{\text{com}}-Q_{\text{nu}}=(\varepsilon-1)Q_{\text{nu}} \approx (3{,}7915-1)\times 659{,}734\approx 1841{,}82\\ \mathrm{W/m}.

Resposta

a) Uma aleta ideal seria aquela cuja resistência interna à condução é desprezível, isto é, toda a aleta permanece praticamente à temperatura da base T_b (eficiência igual a 1).
b) Eficiência da aleta: \eta_f\approx 0{,}996. Efetividade do conjunto: \varepsilon\approx 3{,}79.
c) Número de aletas por metro: N_f=250\\ \text{aletas/m}.
d) Aumento da transferência de calor por metro: \Delta Q\approx 1{,}84\times 10^{3}\\ \mathrm{W/m} (aprox. 1842\\ \mathrm{W/m}).

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