O vapor de água em um sistema de aquecimento flui através de tubos cujo diâmetro externo é de 5 cm e cujas paredes são mantidas a uma temperatura de
. Aletas circulares de liga de alumínio 2024-T6 (
) de diâmetro externo de 6 cm e de espessura constante de 1 mm são fixadas ao tubo. O espaço entre as aletas é 3 mm O calor é transferido para o ar circundante a
, com coeficiente de transferência de calor de
. Determine:
a. (
Ponto) Para esta situação, o que seria uma aleta ideal?
b. (
Ponto) Quais são a eficiência e a efetividade das aletas?
c. (
Ponto) Qual o número de aletas por metro de comprimento de tubo?
d. (1,0 Ponto) O aumento da transferência de calor a partir do tubo por metro de seu comprimento, como resultado da adição das aletas.
a. (
b. (
c. (
d. (1,0 Ponto) O aumento da transferência de calor a partir do tubo por metro de seu comprimento, como resultado da adição das aletas.
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados (peguei todos estes valores do enunciado):
- Diâmetro externo do tubo:
. - Aletas circulares (liga Al 2024-T6) com: condutividade térmica
, diâmetro externo das aletas e espessura constante . - Espaçamento entre aletas (folga axial):
. - Temperatura das paredes (base das aletas):
. - Ar ambiente:
. - Coeficiente de convecção para o ar:
.
O enunciado pede, por item:
a) O que seria uma aleta ideal para esta situação.
b) Calcular a eficiência e a efetividade das aletas.
c) Quantas aletas por metro de comprimento do tubo.
d) O aumento da transferência de calor por metro de comprimento do tubo devido às aletas.
a) O que seria uma aleta ideal para esta situação.
b) Calcular a eficiência e a efetividade das aletas.
c) Quantas aletas por metro de comprimento do tubo.
d) O aumento da transferência de calor por metro de comprimento do tubo devido às aletas.
Passo 2
Escolha do modelo e aproximações (explicando didaticamente e justificando).
- Cada aleta é uma placa circular (disco anelar) fixada radialmente ao redor do tubo. A espessura
é pequena (1 mm) e a extensão radial da aleta é pequena ( ). Para simplificar a análise de condução na aleta usamos a aproximação clássica: “aleta plana reta” (retificamos a geometria anelar para um problema unidimensional em com comprimento ), mas mantendo o tratamento de convecção nas duas faces da placa. Essa aproximação é habitual quando a aleta é estreita em extensão radial e quando queremos uma fórmula simples e prática que dê bom resultado. - O comprimento efetivo da aleta (extensão radial) é
- Por que isto é aceitável? Porque a aleta é relativamente curta (
) e a curvatura ao redor do tubo altera pouco o campo térmico local; e isso nos permite usar fórmulas padrão de aleta plana com convecção em ambas as faces. Vou usar a solução clássica para aleta plana (faces superior e inferior com convecção), com a aproximação de ponta adiabática (vou justificar que a ponta pode ser tratada assim, pois será pequeno).
Passo 3
Equações fundamentais e definição de parâmetros (aula curta sobre o que vamos usar).
- Para uma aleta de espessura
com convecção nas duas faces a constante de decaimento da temperatura na aleta é
Explicação: aquele fator
aparece porque há perda por convecção nas duas faces da placa (superior e inferior), logo a “perda por unidade de comprimento” é proporcional a
quando consideramos a espessura
formando a área de seção para condução.
- Para uma aleta retilínea de comprimento
com extremidade praticamente sem área lateral importante (ponta pequena) costuma-se usar a fórmula aproximada da eficiência da aleta (caso adiabático na ponta):
Comentário didático:
é a eficiência da aleta = razão entre o calor realmente transferido pela aleta e o calor que seria transferido se toda a aleta estivesse à temperatura da base
. A expressão acima vem da solução da equação diferencial linear de condução com termos de convecção (mostra decaimento exponencial da supertemperatura ao longo da aleta). Quando
é pequeno,
e
(a aleta é quase isoterma — pouca queda de temperatura ao longo da aleta). Quando
é grande, a eficiência cai.
- A efetividade (effectiveness) da adição das aletas em relação ao tubo nu costuma-se calcular por:
mas há uma forma prática: por metro de tubo, se
é o número de aletas por metro,
a área total de convecção de uma aleta (faces + borda), e
a área lateral do tubo por metro sem aletas, então
onde
é a área do tubo por metro que permanece exposta ao ar (entre as aletas). Isso corresponde a somar o calor do tubo exposto (simples convecção) mais o calor efetivo fornecido pelas aletas (cada aleta efetiva dá
), e dividir pelo calor do tubo nu
. Essa fórmula é prática e convencional.
Passo 4
Cálculos numéricos — constante
e eficiência da aleta.
- Calcule
:
- Calcule
:
Observação didática:
é pequeno (≈0,104), portanto a aleta é curta em relação à capacidade de condução — isso implica eficiência próxima de 1 e também justifica a aproximação de ponta adiabática.
- Calcule
usando . Para pode-se usar séries, mas aqui calculamos numericamente:
Conclusão: a eficiência da aleta é
(muito próxima de 1).
Passo 5
Área de cada aleta e número de aletas por metro.
- Raízes (raízes radiais): raio do tubo
. raio externo da aleta . - Área de cada face (uma face) da aleta (anel) é
- A aleta tem duas faces (superior e inferior), então área das faces:
- Área da borda externa (circunferência externa × espessura):
- Área total de convecção de uma aleta:
- Número de aletas por metro (o passo axial é
):
(Resposta do item c já obtida aqui.)
Passo 6
Cálculo da efetividade
.
- Área lateral do tubo por metro (tubo nu):
- Área do tubo efetivamente exposta entre aletas por metro: em cada passo
há uma folga exposta; a fração exposta axialmente é . Logo
- Contribuição das aletas, por metro:
- Assim a efetividade total é
Arredondando:
. Comentário: significa que, com as aletas, a perda de calor por metro é cerca de
vezes a perda que teria o tubo nu.
Passo 7
Cálculo do aumento absoluto da transferência de calor por metro (item d).
- Primeiro a transferência de calor por metro do tubo nu (sem aletas) é
Com
,
- Transferência com aletas:
- Aumento absoluto por metro devido às aletas:
Resposta
a) Uma aleta ideal seria aquela cuja resistência interna à condução é desprezível, isto é, toda a aleta permanece praticamente à temperatura da base
(eficiência igual a
).
b) Eficiência da aleta: . Efetividade do conjunto:
.
c) Número de aletas por metro: .
d) Aumento da transferência de calor por metro: (aprox.
).
b) Eficiência da aleta:
c) Número de aletas por metro:
d) Aumento da transferência de calor por metro: