Um equipamento de destilação em batelada equivalente a 3 estágios de equilíbrio opera a 1 atm é carregado com 100 kgmoles com 40 \% molar de n-hexano e 60 \% molar de tolueno. A razão de refluxo no topo igual a 2 é mantida constante durante a separação. Determine a quantidade de líquido no vaporizador, a quantidade de destilado, a composição Copyright © 2024 de Marisa Fernandes Mendes. Proibida a reprodução. Todos os direitos reservados.
Apostila de Exercícios de OP II
Prof. Marisa F. Mendes do líquido remanescente no vaporizador quando a composição instantânea do destilado é 70 \% molar de n-hexano. Considere a volatilidade relativa constante e igual a 2,5 .

Passo 1

O enunciado pede que, num destilador em batelada (equivalente a 3 estágios de equilíbrio) operando a 1\\ \mathrm{atm}, com carga inicial de 100\\ \mathrm{kgmol} contendo 40\% molar de n-hexano e 60\% de tolueno, e com razão de refluxo constante R=2, se determine, quando a composição instantânea do destilado é 70\% molar de n-hexano:
  • a quantidade de líquido remanescente no vaporizador (still);
  • a quantidade de destilado já coletado;
  • a composição do líquido remanescente no vaporizador.
Dados fornecidos (resumo):
\begin{aligned} &\text{Carga inicial: }100\\ \mathrm{kgmol},\\\ &\text{composição inicial (hexano): }x_F=0,40,\\\ &\text{composição inicial (tolueno): }1-x_F=0,60,\\\ &\text{razão de refluxo: }R=2,\\\ &\text{composição instantânea do destilado: }x_D=0,70,\\\ &\text{volatilidade relativa (constante): }\alpha=2,5,\\\ &\text{equivalente a }N=3\\ \text{estágios de equilíbrio (retificadora).} \end{aligned}çãçããçãâáí
A resolução começa a partir daqui.

Passo 2

Planejamento do método (em palavras simples):
  • Num destilador em batelada com refluxo constante e número fixo de estágios na secção de retificação, a composição do líquido na caldeira (still) e a composição do destilado estão relacionadas por ciclos de equilíbrio + reta de operação da secção de retificação.
  • Para mistura binária com volatilidade relativa constante \alpha, a relação de equilíbrio (vapor em função do líquido) é
y=\frac{\alpha x}{1+(\alpha-1)x},
onde x é a fração molar do componente mais volátil (aqui n-hexano) na fase líquida de um estágio, e y é a fração molar na vapor. Vou usar essa fórmula e sua inversa para “voltar” etapa a etapa desde o topo até o líquido na caldeira.
  • A reta de operação da secção de retificação (para refluxo constante R) é
y=\frac{R}{R+1}\,x+\frac{x_D}{R+1}.
  • Procedimento prático: partirei do topo (nível do destilado) em que a composicão líquida de topo é x_D. Vou aplicar 3 vezes, para trás (cada “volta” corresponde a inverter equilíbrio + reta de operação), a fim de obter a composição do líquido na caldeira x_B. Depois faço balanço de material para obter as quantidades. Vou mostrar a dedução da inversa do equilíbrio para achar x a partir de y.

Passo 3

Derivação da inversa da isoterma de equilíbrio (passo didático):
Partimos de
y=\frac{\alpha x}{1+(\alpha-1)x}.
Multiplicando ambos os lados por 1+(\alpha-1)x:
y\big(1+(\alpha-1)x\big)=\alpha x.
Desenvolvendo:
y + y(\alpha-1)x = \alpha x.
Isolando x:
y = x\big(\alpha - y(\alpha-1)\big).
Logo a inversa é
x=\frac{y}{\alpha - y(\alpha-1)}.
Esta fórmula permite obter a fração líquida x num estágio, dado o valor y do vapor em equilíbrio com ela.

Passo 4

Parâmetros numéricos da reta de operação:
m=\frac{R}{R+1}=\frac{2}{3},\qquad b=\frac{x_D}{R+1}=\frac{0,70}{3}\;=\;0,233\overline{3}.
A reta é
y=m\,x+b=\frac{2}{3}x+\frac{0,70}{3}.

Passo 5

Cálculo “para trás” estágio a estágio (temos N=3 estágios). Notação: x_3 é a composição líquida do topo (refluxo), que é igual a x_D; queremos x_0 = composição do líquido na caldeira (still). Em cada etapa para trás fazemos: dado x_{i+1} calcular y_i=m x_{i+1}+b e depois x_i=f^{-1}(y_i).
Etapa 3 → 2:
x_3 = x_D = 0,70.
y_2 = m x_3 + b = \frac{2}{3}\cdot 0,70 + 0,233\overline{3} = 0,70.
Aplicando a inversa do equilíbrio:
x_2 = \frac{y_2}{\alpha - y_2(\alpha-1)} = \frac{0,70}{2,5 - 0,70\cdot 1,5} = \frac{0,70}{1,45} = 0,4827586207\\ (\approx 14/29).

Passo 6

Etapa 2 → 1:
y_1 = m x_2 + b = \frac{2}{3}\cdot 0,4827586207 + 0,233\overline{3} \approx 0,5551724138.
x_1 = \frac{y_1}{\alpha - y_1(\alpha-1)} = \frac{0,5551724138}{2,5 - 0,5551724138\cdot 1,5} \approx 0,332999\\ (\text{aprox. }0,3330).

Passo 7

Etapa 1 → 0:
y_0 = m x_1 + b = \frac{2}{3}\cdot 0,332999 + 0,233\overline{3} \approx 0,455312.
x_0 = \frac{y_0}{\alpha - y_0(\alpha-1)} = \frac{0,455312}{2,5 - 0,455312\cdot 1,5} \approx 0,250593.
Portanto a composição do líquido na caldeira (still) naquele instante é
x_B \equiv x_0 \approx 0,250593\\ (\text{fração molar de n-hexano})\approx 25,06\%.çã

Passo 8

Balanço de material (componente n-hexano) para achar quantidades:
Balanço global de massa total:
L + D = 100\\ \mathrm{kgmol},
onde L é o líquido remanescente no vaporizador (still) e D é o total de destilado coletado até o instante.
Balanço de hexano:
100\cdot 0,40 = L\cdot x_B + D\cdot x_D.
Substituindo D=100-L e resolvendo para L:
40 = L x_B + (100-L)x_D = 100x_D + L(x_B - x_D).
L=\frac{40-100x_D}{x_B-x_D}.
Agora substituímos os valores numéricos:
x_D=0,70,\qquad x_B\approx 0,250593.
L=\frac{40-100\cdot 0,70}{0,250593-0,70} =\frac{40-70}{-0,449407} =\frac{-30}{-0,449407}\approx 66,78\\ \mathrm{kgmol}.

Passo 9

Quantidade de destilado coletado:
D=100-L\approx 100-66,78=33,22\\ \mathrm{kgmol}.

Resposta

L \approx 66,78\\ \mathrm{kgmol} (líquido remanescente no vaporizador)
D \approx 33,22\\ \mathrm{kgmol} (quantidade de destilado coletado)
x_B \approx 0,2506 (fração molar de n-hexano no líquido remanescente, ou 25,06\%)

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