Um pêndulo é constituído de um fio de aço, de
de diâmetro, de comprimento igual a
e de uma massa igual a 20 kg . Admitindo que o pêndulo seja abandonado de uma posição em que forma um ângulo de
com a vertical, determine a diferença no comprimento do fio quando este se encontra na sua posição inicial e quando a massa passa pela vertical.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz o seguinte: a gente tem um pêndulo com fio de aço de comprimento
, diâmetro
(ou seja,
) e massa da esfera de
. Ele é largado a partir de um ponto que forma
com a vertical. A pergunta é: qual a diferença de alongamento do fio entre a posição inicial (estático a
) e o instante que a massa passa pela vertical (dinâmico, com velocidade)?
Conteúdo que usaremos:
Conteúdo que usaremos:
- Lei de Hooke para calcular alongamento
. - Módulo de Young do aço,
. - Cálculo da área de secção transversal
. - Estática: tensão
. - Dinâmica: conservação de energia para achar
no fundo e tensão .
Passo 2
Calcular a área da seção transversal do fio:
então
Passo 3
Tensão no ponto inicial (estático a
):
Em equilíbrio estático, a componente do peso ao longo do fio é
Em equilíbrio estático, a componente do peso ao longo do fio é
Passo 4
Velocidade no instante em que passa pela vertical (usando conservação de energia):
A queda em altura é
A queda em altura é
Energia potencial vira cinética:
Passo 5
Tensão no instante que passa pela vertical (dinâmico):
Temos além do peso, a força centrípeta:
Temos além do peso, a força centrípeta:
Passo 6
Alongamentos correspondentes pelo fio (Lei de Hooke):
- Inicial:
- No fundo:
Passo 7
Calcular numericamente a diferença:
Denominador comum
Denominador comum
Então
Diferença
Resposta
A diferença de alongamento do fio entre a posição inicial e o instante em que a massa passa pela vertical é de aproximadamente