Um pêndulo é constituído de um fio de aço, de 0,2 mm de diâmetro, de comprimento igual a 2,00 m e de uma massa igual a 20 kg . Admitindo que o pêndulo seja abandonado de uma posição em que forma um ângulo de 60^circ com a vertical, determine a diferença no comprimento do fio quando este se encontra na sua posição inicial e quando a massa passa pela vertical.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz o seguinte: a gente tem um pêndulo com fio de aço de comprimento , diâmetro (ou seja, ) e massa da esfera de . Ele é largado a partir de um ponto que forma com a vertical. A pergunta é: qual a diferença de alongamento do fio entre a posição inicial (estático a ) e o instante que a massa passa pela vertical (dinâmico, com velocidade)?
Conteúdo que usaremos:
  1. Lei de Hooke para calcular alongamento .
  2. Módulo de Young do aço, .
  3. Cálculo da área de secção transversal .
  4. Estática: tensão .
  5. Dinâmica: conservação de energia para achar no fundo e tensão .

Passo 2

Calcular a área da seção transversal do fio:
A = pil(tfracd2r)^2 = pil(0,0001r)^2 = pi times 10^-8 m^2 approx 3,14times10^-8 m^2 então

Passo 3

Tensão no ponto inicial (estático a T1 = mgcos60^circ = m g times 0,5 = 20cdot9,8cdot0,5 = 98 N ):
Em equilíbrio estático, a componente do peso ao longo do fio é

Passo 4

Velocidade no instante em que passa pela vertical (usando conservação de energia):
A queda em altura é
h = Ll(1 - cos60^circr) = 2,(1 - 0,5) = 1 m
Energia potencial vira cinética:
m g h = tfrac12 m v^2 Longrightarrow v^2 = 2 g h = 2cdot9,8cdot1 = 19,6 m^2/s^2

Passo 5

Tensão no instante que passa pela vertical (dinâmico):
Temos além do peso, a força centrípeta:
T2 = mg + m,v^2L = 20cdot9,8 ;+; 20cdot19,62 = 196 + 196 = 392 N

Passo 6

Alongamentos correspondentes pelo fio (Lei de Hooke):
De
  1. Inicial:
De
  1. No fundo:

Passo 7

Calcular numericamente a diferença:
Denominador comum
A,E = 3,14times10^-8times2times10^11 = 6,28times10^3
Então
De
Diferença
De

Resposta

A diferença de alongamento do fio entre a posição inicial e o instante em que a massa passa pela vertical é de aproximadamente
boxed9,36times10^-2 m

Exercícios relacionados