A variação da capacidade calorífica do ácido acético, em cal/(gmol.K), com a temperatura, em K , pode ser representada pela seguinte expressão:
c_{p}=2,0142+56,0646 \cdot 10^{-9} \cdot T+34,088 \cdot 10^{-6} \cdot T^{2}
Converta esta equação em outra que determine a capacidade calorífica em Btu/(lbmol. { }^{\circ} \mathrm{F} ), considerando a temperatura fornecida em { }^{\circ} \mathrm{F}.

Passo 1

O enunciado dá a capacidade calorífica do ácido acético em função da temperatura T (em kelvin) pela expressão
c_{p}=2,0142+56,0646\cdot10^{-9}\cdot T+34,088\cdot10^{-6}\cdot T^{2},
com unidades \mathrm{cal}/(\mathrm{gmol}\cdot\mathrm{K}). A pergunta é: converta essa equação para obter c_{p} em \mathrm{Btu}/(\mathrm{lbmol}\cdot{^\circ\mathrm{F}}), usando a temperatura dada em {^\circ\mathrm{F}}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão polinomial acima com T em kelvin e c_{p} em \mathrm{cal}/(\mathrm{gmol}\cdot\mathrm{K}).
  • Deseja-se c_{p} em \mathrm{Btu}/(\mathrm{lbmol}\cdot{^\circ\mathrm{F}}) como função da temperatura em {^\circ\mathrm{F}}.

Passo 2

Vamos entender as conversões necessárias (sem ainda aplicar números): para passar de \mathrm{cal}/(\mathrm{gmol}\cdot\mathrm{K}) para \mathrm{Btu}/(\mathrm{lbmol}\cdot{^\circ\mathrm{F}}) precisamos:
  1. Converter energia: 1\\ \mathrm{cal} = \dfrac{1}{252{,}1644}\\ \mathrm{Btu}.
  2. Converter quantidade de substância (molar): 1\\ \mathrm{lbmol}=453{,}59237\\ \mathrm{gmol} (ou \mathrm{mol}).
  3. Converter unidade de temperatura no denominador (por grau): 1\\ {^\circ\mathrm{F}} = \dfrac{5}{9}\\ \mathrm{K} (logo, para passar de por K para por {^\circ\mathrm{F}} multiplicamos por \tfrac{5}{9}).
    Combinando: se c_{p,\text{orig}} está em \mathrm{cal}/(\mathrm{gmol}\cdot\mathrm{K}), então
c_{p,\text{new}} = k\; c_{p,\text{orig}},
em que
k = \left(\dfrac{1}{252{,}1644}\right)\cdot(453{,}59237)\cdot\left(\dfrac{5}{9}\right).
Isto trata energia, base molar e unidade de temperatura por grau.

Passo 3

Precisamos também reescrever a temperatura T em kelvin em função da temperatura em {^\circ\mathrm{F}} (que chamarei de T_{^\circ F}). A relação é
T\;(\mathrm{K})=\frac{5}{9}\bigl(T_{^\circ F}-32\bigr)+273{,}15.
Para simplificar a álgebra, definimos
\alpha=\frac{5}{9},\qquad \beta=273{,}15-\frac{5}{9}\cdot32=255{,}372222\ldots
logo
T=\alpha\,T_{^\circ F}+\beta.

Passo 4

Substituímos T=\alpha T_{^\circ F}+\beta na expressão polinomial e aplicamos o fator k. Escrevendo a original como
c_{p,\text{orig}}=a+bT+cT^{2},
com
a=2{,}0142,\quad b=56{,}0646\cdot10^{-9},\quad c=34{,}088\cdot10^{-6},
temos, após substituir T=\alpha T_{^\circ F}+\beta,
c_{p,\text{orig}}=A_0+B_0\,T_{^\circ F}+C_0\,T_{^\circ F}^{2},
onde (fórmulas gerais)
A_0=a+b\beta+c\beta^{2},
B_0=b\alpha+2c\alpha\beta,
C_0=c\alpha^{2}.
Finalmente
c_{p,\text{new}}=k\bigl(A_0+B_0\,T_{^\circ F}+C_0\,T_{^\circ F}^{2}\bigr).

Passo 5

Agora vamos calcular numericamente passo a passo (vou mostrar cada valor com vírgula como separador decimal):
  • Coeficientes originais:
a=2{,}0142,
b=56{,}0646\cdot10^{-9}=5{,}60646\cdot10^{-8},
c=34{,}088\cdot10^{-6}=3{,}4088\cdot10^{-5}.
  • Constantes de transformação de temperatura:
\alpha=\frac{5}{9}=0{,}5555555556,\qquad \beta=255{,}372222\ldots
  • Calculemos A_0,B_0,C_0:
A_0=a+b\beta+c\beta^{2}\approx 2{,}0142+5{,}60646\cdot10^{-8}\cdot255{,}372222+3{,}4088\cdot10^{-5}\cdot(255{,}372222)^{2}.
Fazendo as contas (mostrando aproximações intermediárias):
b\beta\approx0{,}00001431733,
c\beta^{2}\approx2{,}22301957,
A_0\approx4{,}237233887.
B_0=b\alpha+2c\alpha\beta\approx5{,}60646\cdot10^{-8}\cdot0{,}5555556+2\cdot3{,}4088\cdot10^{-5}\cdot0{,}5555556\cdot255{,}372222,
B_0\approx0{,}00967239659.
C_0=c\alpha^{2}=3{,}4088\cdot10^{-5}\cdot\left(\frac{5}{9}\right)^{2}\approx1{,}052469136\cdot10^{-5}.

Passo 6

Calculemos agora o fator k que converte unidades (energia, molar e deg):
k=\left(\dfrac{1}{252{,}1644}\right)\cdot(453{,}59237)\cdot\left(\dfrac{5}{9}\right).
Numérico:
k\approx0{,}99933122\quad(\text{adiante usarei este valor}).

Passo 7

Aplicando k aos coeficientes A_0,B_0,C_0 obtemos os coeficientes finais na unidade desejada:
A=kA_0\approx0{,}99933122\cdot4{,}237233887\approx4{,}2343999,
B=kB_0\approx0{,}99933122\cdot0{,}00967239659\approx0{,}009665926,
C=kC_0\approx0{,}99933122\cdot1{,}052469136\cdot10^{-5}\approx1{,}0517164\cdot10^{-5}.

Passo 8

Portanto a equação convertida, com T_{^\circ F} em graus Fahrenheit e c_{p} em \mathrm{Btu}/(\mathrm{lbmol}\cdot{^\circ\mathrm{F}}), é (forma polinomial final):
c_{p}=4{,}2343999+0{,}009665926\;T_{^\circ F}+1{,}0517164\cdot10^{-5}\;T_{^\circ F}^{2}.

Resposta

c_{p}=4{,}2343999+0{,}009665926\;T_{^\circ F}+1{,}0517164\cdot10^{-5}\;T_{^\circ F}^{2}\\ \\ (\mathrm{Btu}/(\mathrm{lbmol}\cdot{^\circ\mathrm{F}}))

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