Determine a ordem de:
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um grupo formado pelo produto de dois grupos cíclicos,
, e queremos determinar a ordem do quociente desse grupo pelo subconjunto
. Aqui, estamos trabalhando com teoria de grupos, especificamente com produtos diretos e grupos quocientes. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a ordem de um grupo quociente.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que a ordem de um grupo é simplesmente o número de elementos que ele possui. No caso do produto direto
, a ordem é o produto das ordens dos grupos que o compõem. Sabemos que
tem 3 elementos e
tem 5 elementos, então a ordem de
é
.
Passo 3
Agora, queremos determinar a ordem do grupo quociente
. O grupo quociente basicamente “divide” o grupo original pelo subconjunto dado, agrupando os elementos em classes de equivalência. A ordem do grupo quociente é igual à ordem do grupo original dividida pela ordem do subconjunto usado para o quociente.
Passo 4
Vamos calcular a ordem do subconjunto
. Esse subconjunto consiste de todos os pares onde o primeiro elemento é 0 e o segundo varia em
. Portanto, há 5 elementos nesse subconjunto.
Passo 5
Finalmente, aplicamos a fórmula para a ordem do grupo quociente:
Substituindo os valores que encontramos:
Resposta
A ordem de
é 3.