Determine a ordem de:
Z3 times Z5 /(0 times Z5).

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um grupo formado pelo produto de dois grupos cíclicos, Z3 times Z5, e queremos determinar a ordem do quociente desse grupo pelo subconjunto 0 times Z5. Aqui, estamos trabalhando com teoria de grupos, especificamente com produtos diretos e grupos quocientes. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a ordem de um grupo quociente.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que a ordem de um grupo é simplesmente o número de elementos que ele possui. No caso do produto direto Z3 times Z5, a ordem é o produto das ordens dos grupos que o compõem. Sabemos que Z3 tem 3 elementos e Z5 tem 5 elementos, então a ordem de Z3 times Z5 é 3 times 5 = 15.

Passo 3

Agora, queremos determinar a ordem do grupo quociente Z3 times Z5 / (0 times Z5). O grupo quociente basicamente “divide” o grupo original pelo subconjunto dado, agrupando os elementos em classes de equivalência. A ordem do grupo quociente é igual à ordem do grupo original dividida pela ordem do subconjunto usado para o quociente.

Passo 4

Vamos calcular a ordem do subconjunto 0 times Z5. Esse subconjunto consiste de todos os pares onde o primeiro elemento é 0 e o segundo varia em Z5. Portanto, há 5 elementos nesse subconjunto.

Passo 5

Finalmente, aplicamos a fórmula para a ordem do grupo quociente:
Ordem do quociente = Ordem do grupo originalOrdem do subconjunto
Substituindo os valores que encontramos:
Ordem do quociente = 155 = 3

Resposta

A ordem de Z3 times Z5 /(0 times Z5) é 3.

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