A variação do valor da UPC, relativamente a alguns meses de 1995 , deu origem à tabela:
MESES mai. jun. jul. ago. set. out. nov.
VALORES RS 10,32 10,32 11,34 11,34 11,34 12,22 12,22
a. Calcule o grau de correlação.
b. Estabeleça a equação de regressão de \mathbf{Y} sobre \mathbf{X}.
c. Estime o valor da UPC para o mês de dezembro.
Sugestão: Substitua os meses, respectivamente, por 1, 2, …, 7.

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
  • (a) Calcular o grau de correlação entre os meses (substituídos por 1,2,\dots,7) e os valores da UPC.
  • (b) Determinar a equação de regressão de \mathbf{Y} sobre \mathbf{X} (ou seja, ajustar \hat{Y}=a+bX).
  • (c) Estimar o valor da UPC para dezembro (substituído por X=8).
Informações dadas (substituindo meses por X=1,2,\dots,7):
  • X=\{1,2,3,4,5,6,7\}.
  • Y=\{10{,}32,\;10{,}32,\;11{,}34,\;11{,}34,\;11{,}34,\;12{,}22,\;12{,}22\}.
Vou usar somas e médias básicas para calcular correlação e regressão: \bar{X},\bar{Y},\sum X^2,\sum Y^2,\sum XY. A partir daí calculo S_{xx},S_{yy},S_{xy}, a correlação r e os parâmetros da reta \hat{Y}=a+bX. Depois avalio \hat{Y} em X=8.

Passo 2

Calcular n,\\ \sum X,\\ \sum Y,\\ \bar{X},\bar{Y}.
n=7
\sum X = 1+2+3+4+5+6+7 = 28 \quad\Rightarrow\quad \bar{X}=\dfrac{\sum X}{n}=\dfrac{28}{7}=4
\sum Y = 10{,}32+10{,}32+11{,}34+11{,}34+11{,}34+12{,}22+12{,}22 = 79{,}10 \quad\Rightarrow\quad \bar{Y}=\dfrac{\sum Y}{n}=\dfrac{79{,}10}{7}=11{,}3

Passo 3

Calcular \sum X^2,\\ \sum XY,\\ \sum Y^2 (faço termo a termo e somo).
Termos X^2:
\sum X^2 = 1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2 = 140
Termos X\!Y:
\begin{aligned} \sum XY &= 1\cdot10{,}32 + 2\cdot10{,}32 + 3\cdot11{,}34 + 4\cdot11{,}34 + 5\cdot11{,}34 + 6\cdot12{,}22 + 7\cdot12{,}22 \\\ &= 10{,}32 + 20{,}64 + 34{,}02 + 45{,}36 + 56{,}70 + 73{,}32 + 85{,}54 = 325{,}90 \end{aligned}
Termos Y^2 (cada y_i^2):
\begin{aligned} \sum Y^2 &= 10{,}32^2 + 10{,}32^2 + 11{,}34^2 + 11{,}34^2 + 11{,}34^2 + 12{,}22^2 + 12{,}22^2 \\\ &= 106{,}5024 + 106{,}5024 + 128{,}5956 + 128{,}5956 + 128{,}5956 + 149{,}3284 + 149{,}3284 \\\ &= 897{,}4484 \end{aligned}

Passo 4

Calcular S_{xx},S_{yy},S_{xy} (formas usadas):
S_{xx}=\sum X^2 - n\bar{X}^2,\qquad S_{yy}=\sum Y^2 - n\bar{Y}^2,\qquad S_{xy}=\sum XY - n\bar{X}\bar{Y}.
Substituindo os valores:
S_{xx}=140 - 7\cdot 4^2 = 140 - 7\cdot 16 = 140 - 112 = 28.
S_{xy}=325{,}90 - 7\cdot 4\cdot 11{,}3 = 325{,}90 - 7\cdot 45{,}2 = 325{,}90 - 316{,}4 = 9{,}5.
S_{yy}=897{,}4484 - 7\cdot 11{,}3^2 = 897{,}4484 - 7\cdot 127{,}69 = 897{,}4484 - 893{,}83 = 3{,}6184.

Passo 5

Calcular o coeficiente de correlação r.
Fórmula (explicação curta): r mede a intensidade linear entre X e Y. Usa-se
r=\dfrac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}\,S_{yy}}}.
Substituindo:
r=\dfrac{9{,}5}{\sqrt{28\cdot 3{,}6184}} = \dfrac{9{,}5}{\sqrt{101{,}3152}} = \dfrac{9{,}5}{10{,}0649}\approx 0{,}944.
Interpretação rápida: r\approx 0{,}944 indica correlação positiva forte entre o número do mês (ordem) e o valor da UPC — quando X aumenta, Y tende a aumentar.

Passo 6

Determinar a equação de regressão de \mathbf{Y} sobre \mathbf{X}.
Fórmulas usadas (explicação didática): a reta de regressão de Y sobre X tem a forma \hat{Y}=a+bX, com
b=\dfrac{S_{xy}}{S_{xx}},\qquad a=\bar{Y}-b\bar{X}.
Aqui b é a inclinação (quanto \hat{Y} muda quando X aumenta em 1) e a é o valor estimado de Y quando X=0.
Calcule b e a:
b=\dfrac{9{,}5}{28}=\dfrac{19}{56}\approx 0{,}3392857\approx 0{,}3393,
a=11{,}3 - 0{,}3392857\cdot 4 = 11{,}3 - 1{,}3571428 = 9{,}9428572\approx 9{,}9429.
Logo a reta de regressão (escrita com valores aproximados) é
\hat{Y}=9{,}942857 + 0{,}339286\,X.

Passo 7

Estimar a UPC para dezembro ( X=8) usando a reta de regressão.
Substituindo X=8 na equação:
\hat{Y}(8)=9{,}942857 + 0{,}3392857\cdot 8 = 9{,}942857 + 2{,}7142856 = 12{,}6571426.
Arredondando de forma prática (valor em reais com duas casas): 12{,}66\\ \text{(R\$)}.

Resposta

(a) r\approx 0{,}944
(b) \displaystyle \hat{Y}=9{,}942857+0{,}339286\,X
(c) \displaystyle \hat{Y}(8)\approx 12{,}657 (aprox. 12{,}66\\ \text{R\$})

Exercícios relacionados