As variáveis X~N(μx,49), Y~N(μY,45) e W~N(μw,30) são observadas em uma população. Deseja-se coletar uma única amostra para estimar a média populacional de ambas as variáveis. Para os estudos que serão realizados é necessário que o erro amostral da média seja, no máximo, ε = 2 com confiança de 90,30%, 88,12% e 97,96% para as variáveis X, Y e Z,
respectivamente. Desse modo, assinale a alternativa que contém o menor tamanho de amostra que atenda a essas exigências.
A n=34
B n=49
C n=41
D n=28
E n=26
respectivamente. Desse modo, assinale a alternativa que contém o menor tamanho de amostra que atenda a essas exigências.
A n=34
B n=49
C n=41
D n=28
E n=26
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três variáveis aleatórias normais: X, Y e W (provavelmente Z, devido ao contexto). Cada uma delas tem uma média populacional que queremos estimar. Para isso, precisamos coletar uma amostra que nos permita estimar essas médias com um erro máximo de 2, e com diferentes níveis de confiança para cada variável:
- 90,30% para X
- 88,12% para Y
- 97,96% para Z
Vamos precisar usar o conceito de tamanho de amostra para estimar médias com um determinado nível de confiança e margem de erro.
Passo 2
Para calcular o tamanho da amostra necessário, usaremos a fórmula do tamanho da amostra para estimar uma média:
Onde:
- $ n $ é o tamanho da amostra.
- $ z_{\alpha/2} $ é o valor crítico da distribuição normal correspondente ao nível de confiança desejado.
- $ \sigma $ é o desvio padrão da população.
- $ \epsilon $ é a margem de erro máxima permitida (neste caso, 2).
Passo 3
Primeiro, vamos encontrar os valores críticos $ z_{\alpha/2} $ para cada nível de confiança.
-
Para X com 90,30% de confiança:
- O nível de confiança de 90,30% corresponde a $ \alpha = 1 - 0,9030 = 0,0970 $.
- Assim, $ \alpha/2 = 0,0485 $.
- Consultando a tabela da distribuição normal, o valor $ z_{0,0485} $ é aproximadamente 1,66.
-
Para Y com 88,12% de confiança:
- $ \alpha = 1 - 0,8812 = 0,1188 $.
- $ \alpha/2 = 0,0594 $.
- O valor $ z_{0,0594} $ é aproximadamente 1,55.
-
Para Z com 97,96% de confiança:
- $ \alpha = 1 - 0,9796 = 0,0204 $.
- $ \alpha/2 = 0,0102 $.
- O valor $ z_{0,0102} $ é aproximadamente 2,33.
Passo 4
Agora, vamos calcular o tamanho da amostra para cada variável usando a fórmula mencionada.
-
Para X:
- $ \sigma_X = \sqrt{49} = 7 $.
- $ n_X = \left( \frac{1,66 \cdot 7}{2} \right)^2 = \left( \frac{11,62}{2} \right)^2 = (5,81)^2 \approx 33,77 $.
-
Para Y:
- $ \sigma_Y = \sqrt{45} \approx 6,71 $.
- $ n_Y = \left( \frac{1,55 \cdot 6,71}{2} \right)^2 = \left( \frac{10,39}{2} \right)^2 = (5,20)^2 \approx 27,04 $.
-
Para Z:
- $ \sigma_Z = \sqrt{30} \approx 5,48 $.
- $ n_Z = \left( \frac{2,33 \cdot 5,48}{2} \right)^2 = \left( \frac{12,77}{2} \right)^2 = (6,385)^2 \approx 40,85 $.
Passo 5
Como queremos uma única amostra que atenda a todas as exigências, precisamos escolher o maior tamanho de amostra calculado para garantir que todas as condições sejam satisfeitas.
- $ n_X \approx 34 $
- $ n_Y \approx 27 $
- $ n_Z \approx 41 $
O maior valor é 41.
Resposta
A alternativa correta é C) n = 41.