Das variáveis abaixo descritas, assinale quais são binomiais, e para estas dê os respectivos campos de definição e função de probabilidade. Quando julgar que a variável não é binomial, aponde as razões da sua conclusão.
Temos cinco urnas com bolas pretas e brancas e vamos extrair uma bola de cada urna. Suponha que X seja o número de bolas brancas obtidas no final.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que o exercício está pedindo e qual conteúdo a gente vai usar.
Enunciado: temos cinco urnas diferentes, cada uma com certas quantidades de bolas brancas e pretas. Em cada urna, a gente tira uma bola e anota se ela é branca. Definimos X = número total de bolas brancas nas cinco retiradas.
Conteúdo: distribuições discretas, em especial “binomial” vs “Poisson‐Binomial” (quando as p de cada ensaio mudam).
O que precisamos:
  • Lembrar a definição de variável aleatória binomial (n e p fixos e independentes).
  • Verificar se as cinco “tentativas” (retiradas) têm a mesma probabilidade p de sucesso (bola branca).
  • Caso positivo, escrevemos X∼Binomial(n=5,p). Caso negativo, explicamos por quê e damos a função de probabilidade geral (poisson‐binomial).

Passo 2

Primeiro: cada retirada de bola branca pode ser vista como uma Bernoulli. Se na urna i a probabilidade de sair branca é X = X1 + X2 + X3 + X4 + X5 , então definimos se sair branca na urna i, e caso contrário.
Como são cinco urnas,

Passo 3

Condição para X ser binomial:
  1. As X sim Binomial(n=5,,p) são independentes. Aqui OK, pois tiramos de urnas distintas.
  2. Todas as P(X = k) = binom5k,p^k,(1-p)^5-k, k=0,1,dots,5 têm a mesma probabilidade de sucesso . Ou seja, .
Se as urnas forem idênticas (mesma proporção de bolas brancas), então para todo i, e X é binomial:
Nesse caso, o campo de definição é

e a função de probabilidade é

Passo 4

Mas se cada urna tiver uma probabilidade diferente p1 neq p2 neq dots neq p5 , então as Bernoulli não são idênticas:
Nesse caso não podemos usar a binomial clássica. A soma de Bernoulli com parâmetros diferentes é chamada de Poisson‐Binomial.

Passo 5

Para o caso geral ( P(X = k) =!!sumsubstackIsubset1,dots,5|I|=k ;prodiin Ipi ;prodjnotin I(1-pj), possivelmente diferentes), definimos o campo de X como
,
mas a probabilidade é dada por
ou seja, somamos sobre todos os subconjuntos de índices de tamanho , multiplicando as para e para .

Resposta

– Se todas as urnas tiverem a mesma probabilidade P(X=k)=binom5kp^k(1-p)^5-k de bola branca, então
X é binomial com
campo P(X = k) =sum|I|=kprodiin Ipiprodjnotin I(1-pj) e
– Caso cada urna tenha probabilidades diferentes , X não é binomial (falha a condição de iguais). Aí X segue a Poisson‐Binomial com
campo e

Exercícios relacionados