Das variáveis abaixo descritas, assinale quais são binomiais, e para estas dê os respectivos campos de definição e função de probabilidade. Quando julgar que a variável não é binomial, aponde as razões da sua conclusão.
Temos cinco urnas com bolas pretas e brancas e vamos extrair uma bola de cada urna. Suponha que X seja o número de bolas brancas obtidas no final.
Temos cinco urnas com bolas pretas e brancas e vamos extrair uma bola de cada urna. Suponha que X seja o número de bolas brancas obtidas no final.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que o exercício está pedindo e qual conteúdo a gente vai usar.
Enunciado: temos cinco urnas diferentes, cada uma com certas quantidades de bolas brancas e pretas. Em cada urna, a gente tira uma bola e anota se ela é branca. Definimos X = número total de bolas brancas nas cinco retiradas.
Conteúdo: distribuições discretas, em especial “binomial” vs “Poisson‐Binomial” (quando as p de cada ensaio mudam).
O que precisamos:
Enunciado: temos cinco urnas diferentes, cada uma com certas quantidades de bolas brancas e pretas. Em cada urna, a gente tira uma bola e anota se ela é branca. Definimos X = número total de bolas brancas nas cinco retiradas.
Conteúdo: distribuições discretas, em especial “binomial” vs “Poisson‐Binomial” (quando as p de cada ensaio mudam).
O que precisamos:
- Lembrar a definição de variável aleatória binomial (n e p fixos e independentes).
- Verificar se as cinco “tentativas” (retiradas) têm a mesma probabilidade p de sucesso (bola branca).
- Caso positivo, escrevemos X∼Binomial(n=5,p). Caso negativo, explicamos por quê e damos a função de probabilidade geral (poisson‐binomial).
Passo 2
Primeiro: cada retirada de bola branca pode ser vista como uma Bernoulli. Se na urna i a probabilidade de sair branca é
, então definimos
se sair branca na urna i, e
caso contrário.
Como são cinco urnas,
Como são cinco urnas,
Passo 3
Condição para X ser binomial:
- As
são independentes. Aqui OK, pois tiramos de urnas distintas. - Todas as
têm a mesma probabilidade de sucesso . Ou seja, .
Se as urnas forem idênticas (mesma proporção de bolas brancas), então
para todo i, e X é binomial:
Nesse caso, o campo de definição é
e a função de probabilidade é
e a função de probabilidade é
Passo 4
Mas se cada urna tiver uma probabilidade diferente
, então as Bernoulli não são idênticas:
Nesse caso não podemos usar a binomial clássica. A soma de Bernoulli com parâmetros diferentes é chamada de Poisson‐Binomial.
Passo 5
Para o caso geral (
possivelmente diferentes), definimos o campo de X como
,
mas a probabilidade é dada por
mas a probabilidade é dada por
ou seja, somamos sobre todos os subconjuntos
de índices de tamanho
, multiplicando as
para
e
para
.
Resposta
– Se todas as urnas tiverem a mesma probabilidade
de bola branca, então
X é binomial com
campo e
X é binomial com
campo
– Caso cada urna tenha probabilidades diferentes
, X não é binomial (falha a condição de
iguais). Aí X segue a Poisson‐Binomial com
campo e
campo