Determine o valor de
para que as seguintes funções representem densidades de probabilidade:
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra achar o valor da constante
que faça
ser uma densidade de probabilidade conjunta. Isso cai em Estatística/Probabilidade, mais precisamente em densidade conjunta contínua. Pra resolver, a gente vai usar o fato de que a integral dupla de
sobre todo o plano deve dar 1.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a teoria básica: uma função
é densidade conjunta se
e
. Aqui
já é não-negativa (porque
e exponencial nunca dá negativo), então só falta garantir que a integral dê 1. A gente vai montar essa integral considerando a região de suporte
.
Passo 3
Escrevendo a integral dupla sobre a região
:
Repare que a ordem escolhida foi primeiro em
(de 0 a
) e depois em
(de 0 a
).
Passo 4
Vamos fazer a integral interna em
:
Então a integral total vira
Passo 5
Agora separamos em duas integrais:
Cada uma é exponencial simples:
-
-
Logo
Passo 6
Pra fechar, basta isolar
: