Determine o valor de C para que as seguintes funções representem densidades de probabilidade:

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra achar o valor da constante f(x,y)= C,e^-a x100-a y50,&se 0 que faça
á
ser uma densidade de probabilidade conjunta. Isso cai em Estatística/Probabilidade, mais precisamente em densidade conjunta contínua. Pra resolver, a gente vai usar o fato de que a integral dupla de sobre todo o plano deve dar 1.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a teoria básica: uma função integral duplaR^2 f(x,y),dx,dy = 1 é densidade conjunta se
e . Aqui já é não-negativa (porque e exponencial nunca dá negativo), então só falta garantir que a integral dê 1. A gente vai montar essa integral considerando a região de suporte .

Passo 3

Escrevendo a integral dupla sobre a região integralx=0^infty!integraly=0^x C,e^-a x100-a y50;dy,dx ;=;1 :
Repare que a ordem escolhida foi primeiro em (de 0 a ) e depois em (de 0 a ).

Passo 4

Vamos fazer a integral interna em integraly=0^x e^-a y50,dy = l[-50a e^-a y50r]0^x = 50al(1 - e^-a x50r) :
integral0^infty C,e^-a x100;50al(1 - e^-a x50r);dx =1
Então a integral total vira

Passo 5

Agora separamos em duas integrais:
50Caintegral0^inftye^-a x100,dx -50Caintegral0^inftye^-a x100,e^-a x50,dx =1
Cada uma é exponencial simples:
  1. 50Cal(100a - 1003ar) = 50Ca;2003a = 10000,C3a^2 ;=;1

  2. Logo

Passo 6

Pra fechar, basta isolar 10000,C3a^2=1 Longrightarrow C = 3a^210000 :

Resposta

boxedC = 3a^210000

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