1. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
  2. A venda semanal de leite, em milhares de litros, de uma cooperativa pode ser representada por uma v.a.c X com a f.d.p dada por:
    f(x)=\left\{\begin{array}{c}3 \mathrm{x}^{2}, 0<\mathrm{x}<1 \\\\ 0, \text { p.o.v }\end{array}\right.
    a) Determine \mathrm{E}(\mathrm{X}), \mathrm{V}(\mathrm{X}) e \sigma(X). Resposta: E(X)=3 / 4 e V(X)=3 / 80

Passo 1

Temos uma v.a.c. X\) com densidade \[f(x)= \begin{cases} 3x^2, &0<x<1,\\\\ 0, &\text{c.c.} \end{cases}
O que queremos é calcular a esperança \mathrm{E}(X)\], a variância \(\mathrm{V}(X) e o desvio-padrão \sigma(X). Para isso vamos usar integrais do tipo
\mathrm{E}(X^k)=\int_{-\infty}^{\infty} x^k f(x)\,\mathrm{d}x.

Passo 2

Calcular \mathrm{E}(X):
\mathrm{E}(X) =\int_{0}^{1}x\cdot 3x^2\,\mathrm{d}x =3\int_{0}^{1}x^3\,\mathrm{d}x =3\left[\frac{x^4}{4}\right]_{0}^{1} =\frac{3}{4}.

Passo 3

Calcular \mathrm{E}(X^2):
\mathrm{E}(X^2) =\int_{0}^{1}x^2\cdot 3x^2\,\mathrm{d}x =3\int_{0}^{1}x^4\,\mathrm{d}x =3\left[\frac{x^5}{5}\right]_{0}^{1} =\frac{3}{5}.

Passo 4

Calcular a variância \mathrm{V}(X) usando \mathrm{V}(X)=\mathrm{E}(X^2)-[\mathrm{E}(X)]^2:
\mathrm{V}(X) =\frac{3}{5}-\Bigl(\frac{3}{4}\Bigr)^{2} =\frac{3}{5}-\frac{9}{16} =\frac{48-45}{80} =\frac{3}{80}.

Passo 5

Calcular o desvio-padrão \sigma(X) como raiz positiva da variância:
\sigma(X) =\sqrt{\mathrm{V}(X)} =\sqrt{\frac{3}{80}} =\frac{\sqrt{15}}{20}.

Resposta

\mathrm{E}(X)=\tfrac{3}{4} \mathrm{V}(X)=\tfrac{3}{80} \sigma(X)=\tfrac{\sqrt{15}}{20}

Exercícios relacionados