1. Seja f(x)=\left\{\begin{array}{c}k x, 0<x \leq 1 \\\\ 0, \text { caso contrário }\end{array}\right.á
    a) Determine o valor k de modo que \mathrm{f}(\mathrm{x}) seja uma f.d.p. [k=2]
    b) \mathrm{P}(0 \leq \mathrm{x} \leq 1 / 2) \quad[1 / 4]
    c) E(X) e V(X) \quad Respostas: [2/3]; [1/18]

Passo 1

O enunciado define uma função densidade de probabilidade contínua f(x)\) dada por \[f(x)= \begin{cases} k\,x, & 0<x\le1,\\\\ 0, &\text{caso contrário}. \end{cases}
Precisamos encontrar
  1. O valor de k\] para que \(\,f seja de fato uma f.d.p.
  2. A probabilidade \,P(0\le X\le\tfrac12).
  3. A esperança E(X) e a variância \mathrm{Var}(X).
    Usaremos as propriedades de PDF: normalização via \int f(x)\,dx=1, probabilidades por integração, definição de esperança
E(X)=\int_{-\infty}^{\infty}x\,f(x)\,dx
e de variância
\mathrm{Var}(X)=E(X^2)-\bigl[E(X)\bigr]^2.

Passo 2

Para normalizar f, impomos
\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx =\int_{0}^{1}k\,x\,dx =\left.\frac{k\,x^2}{2}\right|_{0}^{1} =\frac{k}{2} \stackrel{!}{=}1.
Logo,
k=2.

Passo 3

Para a probabilidade \,P\bigl(0\le X\le\tfrac12\bigr) calculamos
\int_{0}^{1/2}f(x)\,dx =\int_{0}^{1/2}2\,x\,dx =\left. x^2\right|_{0}^{1/2} =\frac{1}{4}.

Passo 4

Para a esperança E(X) usamos
E(X) =\int_{0}^{1}x\,f(x)\,dx =\int_{0}^{1}x\,(2x)\,dx =2\int_{0}^{1}x^2\,dx =2\cdot\frac{1}{3} =\frac{2}{3}.

Passo 5

Para a variância calculamos primeiro
E(X^2) =\int_{0}^{1}x^2\,f(x)\,dx =\int_{0}^{1}x^2\,(2x)\,dx =2\int_{0}^{1}x^3\,dx =2\cdot\frac{1}{4} =\frac{1}{2},
e então
\mathrm{Var}(X) =E(X^2)-\bigl[E(X)\bigr]^2 =\frac{1}{2}-\Bigl(\frac{2}{3}\Bigr)^2 =\frac{1}{2}-\frac{4}{9} =\frac{9-8}{18} =\frac{1}{18}.

Resposta

a) k=2
b) P(0\le X\le\tfrac12)=\tfrac{1}{4}
c) E(X)=\tfrac{2}{3} e \mathrm{Var}(X)=\tfrac{1}{18}

Exercícios relacionados