1. Uma V.A.C. X com f.d.p: f(x)=\left\{\begin{array}{c}k, \quad 0 \leq x \leq 2 \\\ k(x-1), 2<x \leq 4 \\\\ 0, \text { p.o.v }\end{array}\right.
    a)Determine o valor de k e calcule \mathrm{E}(\mathrm{X}), \mathrm{V}(\mathrm{X}) e desvio padrão para a variável X .
    (k=1 / 6 ; E(X)=2,444 ; V(X)=1,385)

Passo 1

O enunciado dá uma variável aleatória contínua X\) com densidade de probabilidade \[f(x)= \begin{cases} k, & 0 \le x \le 2,\\\ k\,(x-1), & 2 < x \le 4,\\\\ 0, & \text{caso contrário}, \end{cases}
e pede (a) determinar k\] pela condição de normalização, (b) calcular \(\mathrm{E}(X), (c) \mathrm{V}(X) e (d) o desvio-padrão \sigma_X.

Passo 2

A normalização exige
\int_{0}^{2} k\,dx \;+\;\int_{2}^{4} k\,(x-1)\,dx \;=\;1.
Calculemos cada parte:
\int_{0}^{2} k\,dx = 2k, \quad \int_{2}^{4} k\,(x-1)\,dx = k\int_{2}^{4}(x-1)\,dx = k\Bigl[\tfrac{x^{2}}{2}-x\Bigr]_{2}^{4} = k\bigl((8-4)-(2-2)\bigr) =4k.
Logo
2k + 4k = 6k = 1 \quad\Longrightarrow\quad k = \tfrac{1}{6}.

Passo 3

Para \mathrm{E}(X)=\int x\,f(x)\,dx faça
\mathrm{E}(X) = \int_{0}^{2} x\cdot\frac{1}{6}\,dx + \int_{2}^{4} x\cdot\frac{1}{6}(x-1)\,dx.
A primeira integral é
\frac{1}{6}\int_{0}^{2}x\,dx = \frac{1}{6}\cdot\frac{x^{2}}{2}\Big|_{0}^{2} = \frac{1}{6}\cdot2 = \frac{1}{3}.
A segunda é
\frac{1}{6}\int_{2}^{4}(x^{2}-x)\,dx = \frac{1}{6}\Bigl[\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2}\Bigr]_{2}^{4} = \frac{1}{6}\cdot\frac{38}{3} = \frac{19}{9}.
Somando,
\mathrm{E}(X) = \frac{1}{3} + \frac{19}{9} = \frac{3+19}{9} = \frac{22}{9} \approx 2{,}444.

Passo 4

Para \mathrm{E}(X^{2}) calcule
\mathrm{E}(X^{2}) = \int_{0}^{2} x^{2}\cdot\frac{1}{6}\,dx + \int_{2}^{4} x^{2}\cdot\frac{1}{6}(x-1)\,dx.
A primeira parte
\frac{1}{6}\int_{0}^{2}x^{2}\,dx = \frac{1}{6}\cdot\frac{x^{3}}{3}\Big|_{0}^{2} = \frac{1}{6}\cdot\frac{8}{3} = \frac{4}{9}.
A segunda
\frac{1}{6}\int_{2}^{4}(x^{3}-x^{2})\,dx = \frac{1}{6}\Bigl[\frac{x^{4}}{4}-\frac{x^{3}}{3}\Bigr]_{2}^{4} = \frac{1}{6}\cdot\frac{124}{3} = \frac{62}{9}.
Logo
\mathrm{E}(X^{2}) = \frac{4}{9} + \frac{62}{9} = \frac{66}{9} = \frac{22}{3} \approx 7{,}333.

Passo 5

A variância é
\mathrm{V}(X) = \mathrm{E}(X^{2}) - [\mathrm{E}(X)]^{2} = \frac{22}{3} - \Bigl(\frac{22}{9}\Bigr)^{2} = \frac{22}{3} - \frac{484}{81} = \frac{110}{81} \approx 1{,}358.
O desvio-padrão é
\sigma_X = \sqrt{\mathrm{V}(X)} = \sqrt{\frac{110}{81}} = \frac{\sqrt{110}}{9} \approx 1{,}165.

Resposta

k = \tfrac{1}{6} \mathrm{E}(X)=\tfrac{22}{9}\approx2{,}444 \mathrm{V}(X)=\tfrac{110}{81}\approx1{,}358 \sigma_X=\tfrac{\sqrt{110}}{9}\approx1{,}165

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