Variáveis Complexas
Descreva a Teorema de Cauchy.

Passo 1

O enunciado pede para descrever o Teorema de Cauchy, que é um resultado central em variáveis complexas e integrais de contorno. Vamos precisar dos conceitos de função holomorfa, domínio aberto simplesmente conexo e caminho fechado (laço) retangulável.

Passo 2

Antes de enunciar, definimos:
– Uma função f\colon D\to\mathbb{C} é holomorfa em D se possui derivada complexa em todo ponto de D.
– Um conjunto D\subset\mathbb{C} é simplesmente conexo se for aberto, conexo e toda curva fechada em D pode ser continuamente deformada a um ponto sem sair de D.
– Um laço (caminho fechado) \gamma em D é uma função contínua retangulável \gamma\colon[0,1]\to D com \gamma(0)=\gamma(1).

Passo 3

As hipóteses do Teorema de Cauchy são:
  1. D é um domínio aberto simplesmente conexo.
  2. f é holomorfa em D.
  3. \gamma é um laço em D, contorno fechado e com orientação positiva.

Passo 4

O enunciado do Teorema de Cauchy afirma que, sob essas hipóteses, a integral de linha de f ao longo de \gamma vale zero:
\oint_\gamma f(z)\,\mathrm{d}z \;=\; 0.
Isto significa que o valor da integral não depende da forma do contorno, desde que ele permaneça em D.

Passo 5

Como consequência imediata, toda função holomorfa num domínio simplesmente conexo tem integral de qualquer caminho fechado nula. Esse resultado é o alicerce para a Fórmula Integral de Cauchy e para a independência de trajetória em integração complexa.

Resposta

O Teorema de Cauchy para integrais de contorno diz que, se f é holomorfa num domínio aberto simplesmente conexo D e \gamma é qualquer laço fechado e orientado positivamente contido em D, então
\oint_\gamma f(z)\,\mathrm{d}z = 0.

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