Variáveis Complexas
Descreva a Teorema de Cauchy.
Descreva a Teorema de Cauchy.
Passo 1
O enunciado pede para descrever o Teorema de Cauchy, que é um resultado central em variáveis complexas e integrais de contorno. Vamos precisar dos conceitos de função holomorfa, domínio aberto simplesmente conexo e caminho fechado (laço) retangulável.
Passo 2
Antes de enunciar, definimos:
– Uma função é holomorfa em
se possui derivada complexa em todo ponto de
.
– Um conjunto é simplesmente conexo se for aberto, conexo e toda curva fechada em
pode ser continuamente deformada a um ponto sem sair de
.
– Um laço (caminho fechado) em
é uma função contínua retangulável
com
.
– Uma função
– Um conjunto
– Um laço (caminho fechado)
Passo 3
As hipóteses do Teorema de Cauchy são:
-
é um domínio aberto simplesmente conexo. -
é holomorfa em . -
é um laço em , contorno fechado e com orientação positiva.
Passo 4
O enunciado do Teorema de Cauchy afirma que, sob essas hipóteses, a integral de linha de
ao longo de
vale zero:
Isto significa que o valor da integral não depende da forma do contorno, desde que ele permaneça em
.
Passo 5
Como consequência imediata, toda função holomorfa num domínio simplesmente conexo tem integral de qualquer caminho fechado nula. Esse resultado é o alicerce para a Fórmula Integral de Cauchy e para a independência de trajetória em integração complexa.
Resposta
O Teorema de Cauchy para integrais de contorno diz que, se
é holomorfa num domínio aberto simplesmente conexo
e
é qualquer laço fechado e orientado positivamente contido em
, então